Предположим, что где независимы.
Мой вопрос, что делает распределение
следовать? Отсюда я знаю, что отношение двух хи-квадрат случайных величин, выраженных как соответствует распределению бета-версий. Я думаю , что это предполагает независимость между и . В моем случае, тем не менее, знаменатель содержит компоненты квадрате.
Я думаю, что также должен следовать варианту распределения бета-версии, но я не уверен. И если это предположение верно, я не знаю, как это доказать.
Ответы:
Этот пост подробно описывает ответы в комментариях к вопросу.
Пусть . Исправьте все длины блока. Такой вектор всегда может быть завершен на ортонормированном базисе (например, с помощью процесса Грамма-Шмидта ). Это изменение базиса (от обычного) является ортогональным: оно не меняет длины. Таким образом, распределениеX=(X1,X2,…,Xn) e1∈Rn (e1,e2,…,en)
не зависит от . Взятие показывает, что оно имеет такое же распределение, какe1 e1=(1,0,0,…,0)
Поскольку имеют нормальное значение, они могут быть записаны как times iid стандартных нормальных переменных и их квадраты имеют распределение times . Поскольку сумма независимых распределений равна , мы определили, что распределение является распределениемXi σ Y1,…,Yn σ2 Γ(1/2) n−1 Γ(1/2) Γ((n−1)/2) (1)
где и являются независимыми. Это хорошо известно , что это отношение имеет бета распределение. (Также смотрите тесно связанный поток в Распределении если Beta и хи-квадрат с градусами .)U=X21/σ2∼Γ(1/2) V=(X22+⋯+X2n)/σ2∼Γ((n−1)/2) (1/2,(n−1)/2) XY X∼ (1,K−1) Y∼ 2K
Так как
для единичного вектора мы заключаем, что является раз бета варьируются. Поэтому для он имеет функцию плотностиe1=(1,1,…,1)/n−−√ Z (n−−√)2=n (1/2,(n−1)/2) n≥2
на интервале (а в противном случае равен нулю).(0,n)
В качестве проверки я смоделировал независимых реализаций для и , их гистограммы и наложил график соответствующей плотности бета (красным цветом). Соглашения отличные.100,000 Z σ=1 n=2,3,10
ВотZ
R
код Он выполняет моделирование с помощью формулыsum(x)^2 / sum(x^2)
для , где - вектор длины, сгенерированный . Остальное только зацикливание ( , ) и построение графиков ( , ).x
n
rnorm
for
apply
hist
curve
источник