Распределение отношения зависимых хи-квадрат случайных величин

11

Предположим, что где независимы.X=X1+X2++XnXiN(0,σ2)

Мой вопрос, что делает распределение

Z=X2X12+X22++Xn2

следовать? Отсюда я знаю, что отношение двух хи-квадрат случайных величин, выраженных как соответствует распределению бета-версий. Я думаю , что это предполагает независимость между и . В моем случае, тем не менее, знаменатель содержит компоненты квадрате.WW+YWYZX

Я думаю, что также должен следовать варианту распределения бета-версии, но я не уверен. И если это предположение верно, я не знаю, как это доказать.Z

x0dros
источник
6
Поскольку распределение знаменателя является инвариантным относительно поворотов, вы можете повернуть в положение , что сводит ваш вопрос к чему-то знакомому :-). XnX1
whuber
1
Я уверен, что @whuber означает именно то, что было там напечатано. Когда вы говорите «номинатор», вы имеете в виду «числитель»?
Glen_b
3
Когда вы вращаете что-либо, вы (по определению) сохраняете его длину. Следовательно, дисперсия любой повернутой версии должна равняться дисперсии , которая равна : термин . XX1+1++1=nn
whuber
1
@whuber Ваш ответ действительно очень интересный, но у меня есть некоторые сомнения по этому поводу. Когда вы говорите, что я могу повернуть чтобы он стал равен , это в основном означает, что я могу переписать числитель как и, следовательно, сам превращается в . Теперь, если я предполагаю, что и а поскольку и независимы, я могу предположить, что имеетXnX1ZnX12ZnX12X12+X22++Xn2W=X12Y=X22++Xn2WYZ=nWW+Yβраздача и пр. Я понял вашу точку зрения до сих пор? Итак, вот мое замешательство. Прежде чем использовать понятие ротационной инвариантности и модифицирования
17
2
@ssah Вы ошибаетесь в своем применении моих рассуждений: без в знаменателе его распределение больше не является инвариантным к произвольным поворотам и поэтому выводы больше не верны. X12(X1,,Xn),
whuber

Ответы:

7

Этот пост подробно описывает ответы в комментариях к вопросу.


Пусть . Исправьте все длины блока. Такой вектор всегда может быть завершен на ортонормированном базисе (например, с помощью процесса Грамма-Шмидта ). Это изменение базиса (от обычного) является ортогональным: оно не меняет длины. Таким образом, распределениеX=(X1,X2,,Xn)e1Rn(e1,e2,,en)

(e1X)2||X||2=(e1X)2X12+X22++Xn2

не зависит от . Взятие показывает, что оно имеет такое же распределение, какe1e1=(1,0,0,,0)

(1)X12X12+X22++Xn2.

Поскольку имеют нормальное значение, они могут быть записаны как times iid стандартных нормальных переменных и их квадраты имеют распределение times . Поскольку сумма независимых распределений равна , мы определили, что распределение является распределениемXiσY1,,Ynσ2Γ(1/2)n1Γ(1/2)Γ((n1)/2)(1)

σ2Uσ2U+σ2V=UU+V

где и являются независимыми. Это хорошо известно , что это отношение имеет бета распределение. (Также смотрите тесно связанный поток в Распределении если Beta и хи-квадрат с градусами .)U=X12/σ2Γ(1/2)V=(X22++Xn2)/σ2Γ((n1)/2)(1/2,(n1)/2)XYX(1,K1)Y2K

Так как

X1++Xn=(1,1,,1)(X1,X2,,Xn)=ne1X

для единичного вектора мы заключаем, что является раз бета варьируются. Поэтому для он имеет функцию плотностиe1=(1,1,,1)/nZ(n)2=n(1/2,(n1)/2)n2

fZ(z)=n1n/2B(12,n12)(nz)n3z

на интервале (а в противном случае равен нулю).(0,n)


В качестве проверки я смоделировал независимых реализаций для и , их гистограммы и наложил график соответствующей плотности бета (красным цветом). Соглашения отличные.100,000Zσ=1n=2,3,10

фигура

Вот Rкод Он выполняет моделирование с помощью формулы sum(x)^2 / sum(x^2)для , где - вектор длины, сгенерированный . Остальное только зацикливание ( , ) и построение графиков ( , ).Zxnrnormforapplyhistcurve

for (n in c(2, 3, 10)) {
  z <- apply(matrix(rnorm(n*1e5), nrow=n), 2, function(x) sum(x)^2 / sum(x^2))
  hist(z, freq=FALSE, breaks=seq(0, n, length.out=50), main=paste("n =", n), xlab="Z")
  curve(dbeta(x/n, 1/2, (n-1)/2)/n, add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}
Whuber
источник