Имеет ли

26

Я столкнулся с этой плотностью на днях. Кто-то дал это имя?

f(x)=log⁡(1+x−2)/2π

Плотность в источнике бесконечна, а также имеет толстые хвосты. Я видел, что это использовалось как предварительное распределение в контексте, где многие наблюдения, как ожидали, будут маленькими, хотя большие значения ожидались также

distributions probability Джон Д. Кук
источник
из любопытства, у вас есть ссылка на источник, где вы видели это изначально?
JMS
1
JMS: «Подковообразная оценка редких сигналов» Карвалью, Полсона и Скотта. Я видел это как препринт, но он, возможно, уже опубликован в Биометрике. Они точно не используют этот априор, но приведенная выше плотность является приближением к частному случаю их априора.
Джон Д. Кук
1
Это было опубликовано: dx.doi.org/10.1093/biomet/asq017 .
Фабианцы
Какой особый случай вы приближаете? Я прочитал это, но не могу связать ваше выражение с выражениями, приведенными в статье ...?
Фабианцы
@fabians: Я имел в виду случай сигма ^ 2 = тау ^ 2 = 1 в теореме 1. Он говорит, что плотность подковы ограничена сверху и снизу кратными log (1 + с / х ^ 2). Поэтому, возможно, распределение, которое я упомянул выше, является скорее упрощением плотности подковы, чем приближением.
Джон Д. Кук

Ответы:

15

Ведь даже первого момента не существует. CDF этого распределения дается

F(x)=1/2+(arctan⁡(x)−xlog⁡(sin⁡(arctan⁡(x))))/π

для и по симметрии F ( x ) = 1 - F ( | x | ) для x < 0 . Ни это, ни какое-либо из явных преобразований не кажутся мне знакомыми. (Тот факт, что мы можем получить замкнутую форму для CDF в терминах элементарных функций, уже серьезно ограничивает возможности, но несколько непонятная и сложная природа этой замкнутой формы быстро исключает стандартные распределения или преобразования степени / log / экспоненциальные / триггеры их. Арктангенс, конечно, CDF Коши (Студент т 1x≥0F(x)=1−F(|x|)x<0t1) распределение, демонстрирующее этот CDF как (по существу) возмущенную версию распределения Коши, показанную красными штрихами.)

введите описание изображения здесь

Whuber
источник
5
@whuber, обратите внимание, что , что связывает форму cdf ближе к форме pdf. Также интересно отметить, что этот pdf является асимптотическим по отношению к половине pdf стандартного Коши. Таким образом, основной причиной его использования, по-видимому, является его поведение около 0.−2log⁡(sin⁡(arctan(x)))=log⁡(1+x−2)
Кардинал
1
@whuber, хотя я думаю, что вижу, откуда вы пришли в отношении вашего заявления о том, что cdf-файлы имеют закрытые формы (подсказка: Louiville), я хотел бы предостеречь с этим замечанием. Само распределение Коши является «контрпримером» в этом отношении.
кардинал
@cardinal Я не понимаю смысл вашего замечания о распределении Коши. Я использую только форму CDF в качестве эвристики для сужения поиска и в качестве цели для поиска. CDF немного удобнее, чем PDF, потому что легче увидеть, как он будет изменяться при преобразовании переменной. И да, отношения, которые вы отметили, ясны, но я решил написать CDF в этой форме из-за присутствия арктангенса в другом термине (который предполагает замену x = tan (u)).
whuber
1
@whuber, ну, возможно, мне лучше попросить разъяснений, чем предположить. Каково было ваше мнение относительно вашего комментария о том, что закрытая форма cdf сильно ограничивает возможности?
кардинал
1
@cardinal Я выполняю широкий поиск в смысле нахождения именованного (или ранее изученного) распределения и относительно простого повторного выражения y (такого как степень или логарифм и т. д.), такого что y ( X ) имеет cdf G тогда и только тогда X имеет Pdf п . Если дистрибутив был изучен ранее, то весьма вероятно, что его CDF был получен, и, если он может быть записан в закрытой форме, эта форма также была опубликована. Поэтому нам нужно только искать функциональные формы G, которые выглядят как u - tan ( u ) log ( sin).Gyy(X)GXfGu−tan⁡(u)log⁡(sin⁡(u))u=u(x)