Экспоненциально взвешенная подвижная асимметрия / эксцесс

Существуют хорошо известные онлайн-формулы для вычисления экспоненциально взвешенных скользящих средних и стандартных отклонений процесса . Для среднего,$(x_n)_{n=0,1,2,\dots}$

$\mu_n = (1-\alpha) \mu_{n-1} + \alpha x_n$

и для дисперсии

$\sigma_n^2 = (1-\alpha) \sigma_{n-1}^2 + \alpha(x_n - \mu_{n-1})(x_n - \mu_n)$

из которого вы можете вычислить стандартное отклонение.

Существуют ли похожие формулы для онлайн-расчета экспоненциально взвешенных моментов третьего и четвертого центральных моментов? Моя интуиция заключается в том, что они должны принять форму

$M_{3,n} = (1-\alpha) M_{3,n-1} + \alpha f(x_n,\mu_n,\mu_{n-1},S_n,S_{n-1})$

и

$M_{4,n} = (1-\alpha) M_{4,n-1} + \alpha f(x_n,\mu_n,\mu_{n-1},S_n,S_{n-1},M_{3,n},M_{3,n-1})$

из которого вы могли бы вычислить асимметрию и эксцесс но я не смог найти простые закрытые Форма выражения для функций и . k n = M 4 , n / σ 4 n f $\gamma_n = M_{3,n} / \sigma_n^3$$k_n = M_{4,n}/\sigma_n^4$$f$$g$

---

Изменить: немного больше информации. Обновляющая формула для скользящей дисперсии является частным случаем формулы для экспоненциально-взвешенной скользящей ковариации, которая может быть вычислена с помощью

$C_n(x,y) = (1-\alpha) C_{n-1}(x,y) + \alpha (x_n - \bar{x}_n) (y_n - \bar{y}_{n-1})$

где $\bar{x}_n$ и $\bar{y}_n$ - экспоненциальные скользящие средние $x$ и $y$ . Асимметрия между $x$ и $y$ иллюзорна и исчезает, когда вы замечаете, что $y-\bar{y}_n = (1-\alpha) (y-\bar{y}_{n-1})$ .

Подобные формулы можно вычислить, записав центральный момент как ожидание , где веса в ожидании понимаются как экспоненциальные, и используя тот факт, что для любой функции мы имеемf ( x $E_n(\cdot)$$f(x)$

$E_n(f(x)) = \alpha f(x_n) + (1-\alpha) E_{n-1}(f(x))$

С помощью этого отношения легко получить формулы обновления для среднего и дисперсии, но это оказывается более сложным для третьего и четвертого центральных моментов.

Формулы просты, но они не так просты, как указано в вопросе.

Пусть будет предыдущий EWMA и пусть , который считается независимым от . По определению , новое взвешенное среднее значение равно для постоянного значения . Для удобства записи установите . Пусть обозначает CDF случайной величины, а обозначает функцию , порождающую моментыX = x n$Y$$X = x_n$$Y$α β = 1 - α F $Z = \alpha X + (1 - \alpha)Y$$\alpha$$\beta = 1-\alpha$$F$$\phi$

$$\phi_X(t) = \mathbb{E}_F[\exp(t X)] = \int_\mathbb{R}{\exp(t x) dF_X(x)}.$$

С Кендаллом и Стюартом пусть обозначает нецентральный момент порядка для случайной величины ; то есть . Перекос и эксцесс выражается в терминах для ; например, асимметрия определяется как гдеkZ$\mu_k^{'}(Z)$$k$$Z$$\mu_k^{'}(Z) = \mathbb{E}[Z^k]$к=1,2,3,4μ3/μ 3 / 2$\mu_k^{'}$$k = 1,2,3,4$$\mu_3 / \mu_2^{3/2}$

$$\mu_3 = \mu_3^{'} - 3 \mu_2^{'}\mu_1^{'} + 2{\mu_1^{'}}^3 \text{ and }\mu_2 = \mu_2^{'} - {\mu_1^{'}}^2$$

третий и второй центральные моменты, соответственно.

По стандартным элементарным результатам,

$$\eqalign{ &1 + \mu_1^{'}(Z) t + \frac{1}{2!} \mu_2^{'}(Z) t^2 + \frac{1}{3!} \mu_3^{'}(Z) t^3 + \frac{1}{4!} \mu_4^{'}(Z) t^4 +O(t^5) \cr &= \phi_Z(t) \cr &= \phi_{\alpha X}(t) \phi_{\beta Y}(t) \cr &= \phi_X(\alpha t) \phi_Y(\beta t) \cr &= (1 + \mu_1^{'}(X) \alpha t + \frac{1}{2!} \mu_2^{'}(X) \alpha^2 t^2 + \cdots) (1 + \mu_1^{'}(Y) \beta t + \frac{1}{2!} \mu_2^{'}(Y) \beta^2 t^2 + \cdots). }$$

Чтобы получить желаемые нецентральные моменты, умножьте последние степенные ряды на четвертый порядок по и сравните полученное выражение за термином с членами в .$t$$\phi_Z(t)$

Я думаю, что следующая формула обновления работает в третий момент, хотя я был бы рад, чтобы кто-то проверил ее:

$M_{3,n} = (1-\alpha)M_{3,n-1} + \alpha \Big[ x_n(x_n-\mu_n)(x_n-2\mu_n) - x_n\mu_{n-1}(\mu_{n-1}-2\mu_n) - \dots$ $\dots - \mu_{n-1}(\mu_n-\mu_{n-1})^2 - 3(x_n-\mu_n) \sigma_{n-1}^2 \Big]$

Обновление формулы для куртоза еще открыто ...