Что такое «момент» о «моментах» распределения вероятностей?

65

Я ЗНАЮ, что такое моменты и как их вычислять и как использовать функцию генерации моментов для получения моментов более высокого порядка. Да, я знаю математику.

Теперь, когда мне нужно смазать свои статистические знания для работы, я подумал, что с таким же успехом могу задать этот вопрос - это мучало меня в течение нескольких лет, и когда я вернулся в колледж, ни один профессор не знал ответа или просто отклонил бы вопрос (честно) ,

Так что же означает слово «момент» в этом случае? Почему этот выбор слова? Мне это не кажется интуитивно понятным (или я никогда не слышал об этом еще в колледже :) Если подумать, мне одинаково любопытно использовать его в «момент инерции»;), но давайте пока не будем заострять на этом внимание.

Итак, что означает «момент» распространения и что он стремится сделать и почему это слово! :) Почему кого-то волнуют моменты? В этот момент я чувствую иначе об этом моменте;)

PS: Да, я, вероятно, задавал аналогичный вопрос о дисперсии, но я ценю интуитивное понимание, а не «посмотрите в книгу, чтобы узнать» :)

кандидат наук
источник
5
Для выбора слова начните с его этимологии .
whuber
2
@whuber: да! Посмотрел его, прежде чем задавать этот вопрос - тоже много лет назад;)
PhD
Я бы совместил этимологию, предоставленную @whuber, с этим ( thefreedictionary.com/moment ) взглядом на определение Math / Stat, которое цитируется в словаре Collins English Dictionary. В сочетании с такими определениями общего использования, как «короткий период времени» или «конкретный экземпляр». Я вполне уверен, что момент в нашем понимании математики / статистики взаимозаменяем с точками. Именно эти точки имели особое значение в определенных приложениях (MGF или MOI), прежде чем геометрия и алгебра Декарта не имели систематической связи, поэтому у них, вероятно, было множество различных терминов, обозначающих одно и то же.
Крис Симокат
4
Это от Макбета: « Кто может быть мудрым, изумленным, умеренным и разъяренным, верным и нейтральным в одно мгновение? » Макбет: Акт ii. Совет Безопасности ООН 3
волки

Ответы:

63

Согласно статье «Первое (?) Появление общих терминов в математической статистике» Г. А. Дэвида, первое использование слова «момент» в этой ситуации было в письме Карла Пирсона 1893 года к природе , озаглавленном «Асимметричные кривые частоты» .

В статье Биометрики Неймана 1938 года «Историческая записка о вычитании моментов бинома Карлом Пирсоном» дается хороший обзор письма и последующих работ Пирсона о моментах биномиального распределения и методе моментов. Это действительно хорошее чтение. Надеюсь, у вас есть доступ к JSTOR, потому что у меня сейчас нет времени, чтобы дать хорошее резюме статьи (хотя я сделаю это в эти выходные). Хотя я упомяну одну статью, которая может дать представление о том, почему был использован термин «момент». Из статьи Неймана:

В ней [мемуары Пирсона] рассматриваются в основном методы аппроксимации непрерывных частотных кривых с помощью некоторых процессов, включающих вычисление простых формул. Одной из рассмотренных формул была «точка-бином» или «бином с загруженными ординатами». Формула
отличается от того, что сегодня мы называем бином, а именно. (4), только с коэффициентом , представляющим область под непрерывной кривой, которую желательно разместить.α

Это то, что в итоге привело к «методу моментов». Нейман рассказывает о выводе Пирсоном биномиальных моментов в вышеприведенной статье.

И из письма Пирсона:

Перейдем теперь к поиску первых четырех моментов системы прямоугольников вокруг GN. Если инерция каждого прямоугольника может рассматриваться как сосредоточенная вдоль его средней вертикали, мы должны иметь момент вокруг NG, записывающий . d = c ( 1 + n q )sthd=c(1+nq)

Это намекает на тот факт, что Пирсон использовал термин «момент» как намек на «момент инерции», термин, распространенный в физике.

Вот скриншот большей части письма Пирсона о Природе :

введите описание изображения здесь

введите описание изображения здесь

Вы можете просмотреть всю статью на странице 615 здесь .

Ник Кокс
источник
1
Могу ли я дать +100 к этому ответу? ;)
PhD
5
@ Nupul, вы можете дать +100 в качестве награды. Награды могут быть присуждены, когда вопросу два дня.
mpiktas
4
@ Nupul Обратите внимание на многочисленные ссылки Пирсона на «гравитацию». Очевидно, он рассуждает с физической аналогией. Это возвращает вопрос к тому, почему физика использует термин «момент» для таких вещей. Я считаю, что это просто естественное обобщение идеи момента инерции (второго момента), на которую вы ссылаетесь в этимологических ссылках на «момент». Вот почему этимология актуальна.
whuber
4
Физика распознает более высокие моменты, чем второй, нупульский, и формулы идентичны формулам статистики. Кто-то просто переводит «плотность» объекта в «плотность вероятности». Фактически, физика обобщила идею в момент, являющийся коэффициентом расширения степенного ряда в некоторой подходящей системе координат.
whuber
3
@ Nupul Я не знаю, смогу ли я добавить что-то большее, чем то, что сказал Уабер. Я думаю, что что-либо помимо того, что я связал в своем ответе и комментариях Уубера, возможно, будет более подробно рассмотрено в Physics SE . И если он все еще недостаточно «глубокий», всегда есть английский SE , 5-ый наиболее часто используемый тег - «этимология». Но отличный вопрос! Получил удовольствие, исследуя его, и нашел 3 замечательных газеты, о которых я даже не подозревал.
7

У каждого есть свой момент на моменты. У меня были свои имена в Кумуланте и имена моментов за пределами дисперсии, асимметрии и эксцесса , и я потратил некоторое время на чтение этой ужасной темы.

Как ни странно, я не нашел «упоминания о моменте» в статье Г. А. Дэвида. Поэтому я пошел к книге Карла Пирсона «Научная жизнь в статистическую эпоху » Т. М. Портера и Карла Пирсона и «Истоки современной статистики: эластик». становится статистиком . Он, например, отредактировал «Историю теории упругости и прочности материалов» от Галилея до настоящего времени .

Его опыт был очень широк, и он был особенно профессором техники и эластика, который принимал участие в определении изгибающих моментов пролета моста и расчета напряжений на каменных дамбах. В эластичности, только наблюдать, что происходит (разрыв) ограниченным образом. Он, казалось бы, интересовался (из книги Портера):

графический расчет или, в его наиболее достойном и математическом виде, графическая статика.

Потом :

С самого начала своей статистической карьеры и даже до этого он подбирал кривые, используя «метод моментов». В механике это означало сопоставление сложного тела с простым или абстрактным телом, имеющим тот же центр масс и «радиус качания», соответственно первый и второй моменты. Эти величины соответствовали в статистике среднему значению и разбросу или дисперсии измерений вокруг среднего значения.

И с тех пор:

Пирсон имел дело с дискретными интервалами измерения, это была сумма, а не интеграл

Инерционные моменты могут обозначать сводку движущегося тела: вычисления могут выполняться так, как если бы тело было сведено к одной точке.

Пирсон создал эти пять равенств в виде системы уравнений, которые объединены в одну девятую степень. Численное решение было возможно только путем последовательных приближений. Реальных решений могло быть целых девять, хотя в данном случае их было только два. Он представил оба результата вместе с оригиналом и был в целом доволен появлением результата. Он, однако, не полагался на визуальный контроль, чтобы решить между ними, но рассчитал шестой момент, чтобы выбрать лучший матч

Давайте вернемся к физике. Момент - это физическая величина, которая учитывает локальное расположение физического свойства, как правило, относительно определенной порядковой точки или оси (классически в пространстве или времени). Он суммирует физические величины, измеренные на некотором расстоянии от эталона. Если величина не сконцентрирована в одной точке, момент «усредняется» по всему пространству с помощью интегралов или сумм.

По-видимому, понятие моментов можно проследить до открытия принципа действия рычага, «открытого» Архимедом. Одним из первых известных явлений является латинское слово «momentorum» с существующим общепринятым смыслом (момент о центре вращения). В 1565 году Федерико Коммандино перевел работу Архимеда (Liber de Centro Gravitatis Solidorum) как:

Центр тяжести каждой твердой фигуры - это та точка внутри нее, вокруг которой со всех сторон стоят части равного момента.

или же

Centrum gravitatis uniuscuiusque solidae figurae est punctum illud intra positum, около четвертого числа unique partes aequalium momentorum

Очевидно, что аналогия с физикой довольно сильна: из сложной дискретной физической формы найдите величины, которые в достаточной мере приближаются к ней, в виде сжатия или экономии.

Лоран Дюваль
источник
6

Будучи чрезмерно упрощенными, статистические моменты являются дополнительными дескрипторами кривой / распределения. Мы знакомы с первыми двумя моментами, и они обычно полезны для непрерывных нормальных распределений или подобных кривых. Однако эти первые два момента теряют свою информационную ценность для других распределений. Таким образом, другие моменты предоставляют дополнительную информацию о форме / форме распределения.

Даниил I Шостак
источник
1
Я не думаю, что значение первых двух моментов теряет значение для всех ненормальных распределений, например, среднее время пребывания, как правило, является первым моментом или интегральным средним числом времен во временном ряду.
Карл
5

Вопрос: Так что же означает слово «момент» в данном случае? Почему этот выбор слова? Мне это не кажется интуитивно понятным (или я никогда не слышал об этом еще в колледже :) Если подумать, мне одинаково любопытно использовать его в «момент инерции»;), но давайте пока не будем заострять на этом внимание.

Ответ: На самом деле, в историческом смысле момент инерции, вероятно, является источником слова «моменты». Действительно, можно (как показано ниже) показать, как момент инерции связан с дисперсией. Это также дает физическую интерпретацию высших моментов.

В физике момент - это выражение, связанное с произведением расстояния и физической величины, и, таким образом, он определяет, как физическая величина расположена или организована. Моменты обычно определяются относительно фиксированной контрольной точки; они имеют дело с физическими величинами, измеренными на некотором расстоянии от этой контрольной точки. Например, момент силы, действующей на объект, часто называемый крутящим моментом, является произведением силы на расстояние от контрольной точки, как в примере ниже.

введите описание изображения здесь

Менее запутанным, чем обычно используемые названия , например, гиперплоскость и т. Д. Для более высоких моментов, будут моменты от кругового движения, например, моменты инерции для кругового движения , для твердых тел, что является простым преобразованием. Угловое ускорение является производной угловой скорости, которая является производной угла по времени, то есть . Учтите, что второй момент аналогичен крутящему моменту, приложенному к круговому движению, или, если вы хотите, ускорение / замедление (также вторая производная) этого кругового (т. Е. Углового,dωdt=α,dθdt=ωθ) движение. Точно так же третий момент - это скорость изменения крутящего момента и т. Д. И т. Д. Для еще более высоких моментов для создания скоростей изменения скоростей изменения скоростей изменения, то есть последовательных производных кругового движения. Возможно, это легче представить на реальных примерах.

Существуют ограничения на физическое правдоподобие, например, где объект начинается и заканчивается, т. Е. Его поддержка, что делает сравнение более или менее реалистичным. Давайте возьмем пример бета-распределения, которое имеет (конечную) поддержку на [0,1], и покажем соответствие для этого. Функция плотности бета-распределения ( pdf ): где и - это гамма-функция , .

β(x;α,β)={xα1(1x)β1B(α,β)0<x<10True,
B(α,β)=Γ(α)Γ(β)Γ(α+β)Γ(.)Γ(z)=0xz1exdx

Средний затем первый момент вращения вокруг оси для беты - функция на графику как жестко вращающегося тонкого лист равномерной плотности площади с минимальными -значением , прикрепленных к (0,0,0) происхождений, с его основанием в плоскости . как показано для , то есть , ниже zxx,y

μ=01rβ(r;α,β)dr=αα+β,
β(r;2,2)μ=12введите описание изображения здесь

Обратите внимание, что ничто не мешает нам переместить тонкий лист бета-распределения в другое место и изменить его масштаб, например, с до , или изменить вертикальную форму, например, чтобы весло, а не горб.0r12r4

Чтобы вычислить дисперсию бета-распределения, мы вычислили бы момент инерции для сдвинутого бета-распределения со средним значением размещенным на оси вращения , который для , то есть , где - момент инерции, выглядит следующим образом:rz

σ2=01(rμ)2β(r;α,β)dr=αβ(α+β)2(α+β+1),
β(r;2,2)I=σ2=120I

введите описание изображения здесь

Теперь для более высоких так называемых «центральных» моментов, то есть моментов о среднем, таких как асимметрия и эксцесс, мы вычисляем момент вокруг среднего из Это также можно понимать как производную кругового движения.1 0 ( г - μ ) п & beta ; ( г ; α , β )nthn th

01(rμ)nβ(r;α,β)dr.
nth

Что если мы хотим вычислить в обратном направлении, то есть взять трехмерный твердый объект и превратить его в функцию вероятности? Затем все становится немного сложнее. Например, давайте возьмем тор . введите описание изображения здесь

Сначала мы берем его круглое поперечное сечение, затем превращаем его в полуэллипс, чтобы показать плотность любой плоской монеты, подобной срезу, а затем конвертируем монету в монету клиновидной формы, чтобы учесть увеличение плотности с увеличением расстояния ( ). из оси , и, наконец, мы нормализуем для области, чтобы сделать функцию плотности. Это обрисовано в общих чертах ниже с математикой, оставленной читателю.зrz

введите описание изображения здесь

Наконец, мы спрашиваем, как эти эквивалентности относятся к движению? Обратите внимание, что, как указано выше, момент инерции можно связать со вторым центральным моментом, , AKA, дисперсией. Тогда , то есть отношение крутящего момента, и углового ускорения, . Затем мы бы дифференцировались, чтобы получить более высокие степени изменения во времени.σ 2 I = τIσ2τI=τaτa

деревенщина
источник
Связь между моментами и производными неясна. (Он, безусловно, существует, но обычно связь раскрывается с помощью преобразования Фурье.) Не могли бы вы показать, как и почему моменты можно интерпретировать как производные? Как это работает?
whuber
@whuber Позже, тем временем посмотрите на ссылку выше, она показывает ||.
Карл
Спасибо. Я вижу эту страницу, и у меня появляется проблеск того, на что вы ссылаетесь, но связь с моментами распространения неясна. Я заинтригован и с нетерпением жду вашего дальнейшего развития этой идеи.
whuber
@whuber Проверьте это и посмотрите, согласны ли вы.
Карл
2
Да, это можно сделать. Когда аргумент ряда записывается как то у вас есть ряд Фурье. Кроме того, связь между моментами и производными явна в преобразовании Фурье: оператор дифференцирования преобразуется в умножение на , что напрямую показывает, как моменты связаны с производными того же порядка. x = e i q qxx=eiqq
whuber