Понимание дисперсии случайных эффектов в моделях lmer ()

У меня проблемы с пониманием вывода моей lmer()модели. Это простая модель исходной переменной (Поддержка) с различными перехватами состояний / случайными эффектами состояний:

mlm1 <- lmer(Support ~ (1 | State))

Результаты summary(mlm1):

Linear mixed model fit by REML 
Formula: Support ~ (1 | State) 
   AIC   BIC logLik deviance REMLdev
 12088 12107  -6041    12076   12082
Random effects:
 Groups   Name        Variance  Std.Dev.
 State    (Intercept) 0.0063695 0.079809
 Residual             1.1114756 1.054265
Number of obs: 4097, groups: State, 48

Fixed effects:
            Estimate Std. Error t value
(Intercept)  0.13218    0.02159   6.123

Я так понимаю, что дисперсия перехватов / случайных эффектов в разных состояниях равна 0.0063695. Но когда я извлекаю вектор этих состояний случайных эффектов и вычисляю дисперсию

var(ranef(mlm1)$State)

Результат: 0.001800869значительно меньше дисперсии, о которой сообщается summary().

Насколько я понимаю, указанную модель можно записать так:

$y_i = \alpha_0 + \alpha_s + \epsilon_i, \text{ for } i = \{1, 2, ..., 4097\}$

$\alpha_s \sim N(0, \sigma^2_\alpha), \text{ for } s = \{1, 2, ..., 48\}$

$\alpha_s$ $\sigma^2_\alpha$ lmer()

r mixed-model random-effects-model lme4-nlme nomad545
источник

lmer()

σ_{α}^{2}

$\sigma^2_\alpha$

{\hat{α}}_{s}

$\hat\alpha_s$

y_{i}

$y_i$

y_{i s}

$y_{is}$

Вот очень похожий вопрос с несколько иным ответом

Арне Йонас Варнке

Это классический односторонний анова. Очень короткий ответ на ваш вопрос заключается в том, что компонент дисперсии состоит из двух терминов.

{\hat{σ}}_{α}^{2} знак равно Е [\frac{1}{48} Σ_{s знак равно 1}^{48} α_{s}^{2}] знак равно \frac{1}{48} Σ_{s знак равно 1}^{48} {\hat{α}}_{s}^{2} + \frac{1}{48} Σ_{s знак равно 1}^{48} v a р ({\hat{α}}_{s})

$\hat{\sigma}^2_{\alpha}=E\left[\frac{1}{48}\sum_{s=1}^{48} \alpha_s^2\right]= \frac{1}{48}\sum_{s=1}^{48}\hat{ \alpha }_s^2 +\frac{1}{48}\sum_{s=1}^{48}var(\hat{ \alpha }_s)$

Таким образом, вычисленный вами термин является первым слагаемым в правой части (поскольку случайные эффекты имеют среднее значение ноль). Второе слагаемое зависит от того, используется ли REML для ML, и от суммы квадратов стандартных ошибок ваших случайных эффектов.

probabilityislogic
источник

Хорошо понял! Таким образом, сумма квадратов SE из RE - 1/48 * sum((se.ranef(mlm1)$State)^2)- есть 0.004557198. Дисперсия точечных оценок RE (полученных, как указано выше, с использованием var(ranef(mlm1)$State)) равна 0.001800869. Сумма 0.006358067, представляющая собой отклонение, summary()указанное в lmer()приведенной выше модели, по крайней мере, до 4 или 5 цифр. Большое спасибо @probability

nomad545

Для тех, кто ищет этот ответ и комментарий о помощи, обратите внимание, что nomad545 также использовал armпакет R для этой se.ranef()функции.

ndoogan

@probabilityislogic: Можете ли вы предоставить более подробную информацию о том, как было рассчитано это уравнение? В частности, как было достигнуто второе равенство? Кроме того, не должно ли быть шляпа на альфа после первого равенства?

user1357015

Y \sim N o r m a l (1_{n} α_{0}, Σ)

$Y\sim Normal (1_n\alpha_0,\Sigma)$

Σ = I_{n} σ_{e}^{2} + σ_{α}^{2} Z Z^{T}

$\Sigma=I_n\sigma^2_e+\sigma^2_{\alpha} ZZ^T$ является «безусловной» дисперсией Y. Если вы сделаете это (плюс, используя некоторые манипуляции), вы получите вышеуказанное равенство. Второе равенство следует из

E (α_{s}) = 0

$E (\alpha_s)=0$ (под моделью) значение

v a r (α_{s}) = E (α_{s}^{2})

$var (\alpha_s)=E (\alpha_s^2)$

вероятностная

Понимание дисперсии случайных эффектов в моделях lmer ()

Ответы: