Каковы оценки максимального правдоподобия для параметров t-распределения Стьюдента? Существуют ли они в закрытом виде? Быстрый поиск в Google не дал мне никаких результатов.
Сегодня меня интересует одномерный случай, но, вероятно, мне придется расширить модель до нескольких измерений.
РЕДАКТИРОВАТЬ: меня на самом деле больше всего интересуют параметры местоположения и масштаба. Сейчас я могу предположить, что параметр степеней свободы фиксирован, и, возможно, использовать некоторую числовую схему, чтобы найти оптимальное значение позже.
Ответы:
Закрытой формы для T не существует, но очень интуитивный и стабильный подход - через алгоритм EM. Теперь, когда ученик представляет собой смесь нормалей, вы можете написать свою модель как
где иwi∼Ga(νei|σ,wi∼N(0,σ2w−1i) . Это означаетчто условно нашIОМП является просто взвешенным средним и стандартным отклонением. Это шаг "М"wi∼Ga(ν2,ν2) wi
сг 2=Σяшя(уя - μ )2
Теперь шаг «E» заменяет ожидаемым с учетом всех данных. Это дано как:wi
поэтому вы просто повторяете два вышеупомянутых шага, заменяя «правую часть» каждого уравнения текущими оценками параметров.
Следует отметить, что функция логарифмического правдоподобия может иметь более одной стационарной точки, поэтому алгоритм EM может сходиться к локальному режиму вместо глобального режима. Локальные режимы могут быть обнаружены, когда параметр местоположения запускается слишком близко к выбросу. Поэтому начать с медианы - хороший способ избежать этого.
источник
Следующая статья посвящена именно той проблеме, которую вы опубликовали.
Лю С. и Рубин Д.Б. 1995. «Оценка ML распределения t с использованием EM и его расширений, ECM и ECME». Statistica Sinica 5: 19–39.
Он обеспечивает общую многомерную оценку параметров t-распределения, со знанием или без знания степени свободы. Процедура может быть найдена в Разделе 4, и она очень похожа на вероятность вероятности для 1-измерения.
источник
источник
Недавно я обнаружил оценку в замкнутой форме для шкалы t-распределения Стьюдента. Насколько мне известно, это новый вклад, но я хотел бы получить комментарии, предлагающие любые связанные результаты. В статье описывается метод в контексте семейства «связанных экспоненциальных» распределений. T Стьюдента упоминается как спаренный гауссиан, где член связи является обратной величиной степени свободы. Статистика в закрытой форме является средним геометрическим значением выборок. Предполагая значение связи или степень свободы, оценка шкалы определяется путем умножения среднего геометрического значения выборок на функцию, включающую связь и число гармоник.
https://arxiv.org/abs/1804.03989 Использование среднего геометрического в качестве статистики для шкалы связанных гауссовских распределений, Кенрик П. Нельсон, Марк А. Кон, Сабир Р. Умаров
источник