Генерирующая момент функция внутреннего произведения двух гауссовских случайных векторов

Кто-нибудь может предложить, как я могу вычислить производящую момент функцию внутреннего произведения двух гауссовских случайных векторов, каждый из которых распределен как $\mathcal N(0,\sigma^2)$ , независимо друг от друга? Есть ли какой-то стандартный результат для этого? Любой указатель высоко ценится.

Адрес давайте сначала случай $\Sigma = \sigma\mathbb{I}$ . В конце (легкое) обобщение на произвольное $\Sigma$ .

Начнем с наблюдения, что внутренним произведением является сумма iid-переменных, каждая из которых является произведением двух независимых нормальных переменных, что сводит вопрос к нахождению mgf последних, поскольку mgf суммы является произведением мгфс.$(0,\sigma)$

MGF может быть найден путем интеграции, но есть более простой способ. Когда и Y стандартно нормальны,$X$$Y$

$$XY = ((X+Y)/2)^2 - ((X-Y)/2)^2$$

является разницей двух независимых масштабированных хи-квадратных переменных. (Масштабный коэффициент , так как дисперсии ( X ± Y ) / 2 равно 1 / 2 ) . Поскольку MGF из хи-квадрата случайной величины составляет 1 / $1/2$$(X\pm Y)/2$$1/2$ , мгс((X+Y)/2)2равно1/$1/\sqrt{1 - 2\omega}$$((X+Y)/2)^2$ и мгф - -((X-Y)/2)2равно1/$1/\sqrt{1-\omega}$$-((X-Y)/2)^2$ . Умножая, мы находим, что искомый mgf равен1/$1/\sqrt{1+\omega}$ .$1/\sqrt{1-\omega^2}$

(Для более поздней ссылки обратите внимание, что когда и Y масштабируются с помощью σ , их произведение масштабируется на σ 2 , откуда ω также должен масштабироваться на σ 2. )$X$$Y$$\sigma$$\sigma^2$$\omega$$\sigma^2$

Это должно выглядеть знакомо: с точностью до некоторых постоянных факторов и знака это похоже на плотность вероятности для распределения Стьюдента с степенями свободы. (Действительно, если бы мы работали с характеристическими функциями вместо mgfs, мы получили бы 1 / $0$ , что еще ближе к PDF студента.) Не берите в голову, что не существует такого понятия, как студент t с0dfs - все, что имеет значение, это то, что mgf будет аналитическим в окрестности0,и это ясно есть (по теореме бинома).$1/\sqrt{1 + \omega^2}$$0$$0$

Из этого сразу следует, что распределение внутреннего произведения этих i-гауссовых векторов имеет mgf, равное n- кратному произведению этого mgf,$n$$n$

$$(1 - \omega^2 \sigma^4)^{-n/2}, \quad n=1, 2, \ldots.$$

При поиске характеристической функции распределения Стьюдента, мы выводим (с крошечным битом алгебры или интеграцией , чтобы найти постоянную нормализующую) , что сам по себе PDF даются

$$f_{n,\sigma}(x) = \frac{2^{\frac{1-n}{2}} |x|^{\frac{n-1}{2}} K_{\frac{n-1}{2}}\left(\frac{|x|}{\sigma ^2}\right)}{\sqrt{\pi } \sigma ^4 \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}$$

( - функция Бесселя).$K$

Например, здесь представлен график этой PDF , наложенной на гистограмме случайной выборки из таких внутренних произведений , где σ = 1 / 2 и п = 3 :$10^5$$\sigma=1/2$$n=3$

Труднее подтвердить точность mgf из моделирования, но обратите внимание (из теоремы о биноме), что

$$(1 + t^2 \sigma^4)^{-3/2} = 1-\frac{3 \sigma ^4 t^2}{2}+\frac{15 \sigma ^8 t^4}{8}-\frac{35 \sigma ^{12} t^6}{16}+\frac{315 \sigma ^{16} t^8}{128}+\ldots,$$

из которого мы можем прочитать моменты (разделенные на факториалы). Из-за симметрии около только четные моменты. Для σ = +1 / +2 мы получим следующие значения, в сравнении с сырьевыми моментами этого моделирования:$0$$\sigma=1/2$

 k    mgf           simulation/k!
 2    0.09375       0.09424920
 4    0.00732422    0.00740436
 6    0.00053406    0.00054128
 8    0.00003755    0.00003674
10    2.58 e-6      2.17 e-6

Как и следовало ожидать, высокие моменты моделирования начнут отходить от моментов, заданных mgf; но, по крайней мере, до десятого момента, есть отличное согласие.

---

Между прочим, когда распределение является биэкспоненциальным.$n=2$

---

Чтобы разобраться с общим случаем, начните с того, что заметите, что внутреннее произведение является независимым от координат объектом. Поэтому мы можем взять главные направления (собственные векторы) качестве координат. В этих координатах внутренним произведением является сумма независимых произведений независимых нормальных переменных, причем каждый компонент распределен с дисперсией, равной его собственному собственному значению. Таким образом, если ненулевые собственные значения равны σ 2 1 , σ 2 2 , … , σ 2 d (при 0 ≤ d ≤ n ), то mgf должен быть равен$\Sigma$$\sigma_1^2, \sigma_2^2, \ldots, \sigma_d^2$$0 \le d \le n$

$$\left(\prod_{i=1}^d (1 - \omega^2\sigma_i^4)\right)^{-1/2}.$$

Чтобы подтвердить, что я не ошибся в этом рассуждении, я разработал пример, где - матрица$\Sigma$

$$\left( \begin{array}{ccc} 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{8} \\ \frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{8} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{array} \right)$$

и вычислил, что его собственные значения

$$\left(\sigma_1^2, \sigma_2^2, \sigma_3^2\right) = \left(\frac{1}{16} \left(17+\sqrt{65}\right),\frac{1}{16} \left(17-\sqrt{65}\right),\frac{3}{8}\right)\approx \left(1.56639,0.558609,0.375\right).$$

$10^6$$X_i$$(0,\Sigma)$$10^6$$Y_i$$10^6$$X_i\cdot Y_i$$-12$$15$

Как и прежде, соглашение отличное. Кроме того, моменты совпадают хорошо через восьмой и достаточно хорошо, даже на десятом:

 k    mgf           simulation/k!
 2     1.45313       1.45208
 4     2.59009       2.59605
 6     5.20824       5.29333
 8    11.0994       11.3115
10    24.4166       22.9982

---

добавление

(Добавлено 9 августа 2013 г.)

$f_{n,\sigma}$$0$$0$$\sigma^2$$n/2$