Интуитивное объяснение периодичности в цепях Маркова

Может кто-нибудь объяснить мне интуитивно, что такое периодичность цепи Маркова?

Это определяется следующим образом:

Для всех штатов $i$ в $S$

$d_i$ = gcd$\{n \in \mathbb{N} | p_{ii}^{(n)} > 0\} =1$

Спасибо за ваши усилия!

Прежде всего, ваше определение не совсем правильно. Вот правильное определение из Википедии, предложенное Cyan.

Периодичность (источник: Википедия )

Состояние i имеет период k, если любое возвращение в состояние i должно происходить с кратностью k временных шагов. Формально период состояния определяется как

k = $gcd\{ n: \Pr(X_n = i | X_0 = i) > 0\}$

(где "gcd" - наибольший общий делитель). Обратите внимание, что даже если состояние имеет период k, достижение состояния может быть невозможным за k шагов. Например, предположим, что можно вернуться в состояние через {6, 8, 10, 12, ...} временных шагов; k будет 2, хотя 2 не появляется в этом списке.

Если k = 1, то состояние называется апериодическим: возврат в состояние i может происходить нерегулярно. Другими словами, состояние i является апериодическим, если существует такое n, что для всех n '≥ n,

$Pr(X_{n'} = i | X_0 = i) > 0.$

В противном случае (k> 1) состояние называется периодическим с периодом k. Цепочка Маркова является апериодической, если каждое состояние апериодическое.

Мое объяснение

Термин периодичность описывает, происходит ли что-либо (событие или здесь: посещение определенного состояния) через регулярные промежутки времени. Здесь время измеряется количеством штатов, которые вы посещаете.

Первый пример:

Теперь представьте, что часы представляют цепочку Маркова и каждый час отмечают состояние, поэтому мы получили 12 состояний. Каждое состояние просматривается часовой стрелкой каждые 12 часов (состояния) с вероятностью = 1, поэтому наибольший общий делитель также равен 12.

Таким образом, каждое (часовое) состояние является периодическим с периодом 12.

Второй пример:

Представьте график , описывающую последовательность бросков монеты, начиная с состоянием и состояние ч е д ы и т я л ы , представляющий результатом последней жеребьевки.$start$$heads$$tails$

Вероятность перехода равна 0,5 для каждой пары состояний (I, J), за исключением -> ь т а г т а т я L сек -> ь т а г $heads$$start$$tails$$start$ , где оно равно 0.

$heads$$heads$$heads$$heads$ является апериодическим.

$tails$$start$$start$

$n \gt 0$$P^n_{ii} = 0$$P_{ii}$$i$

$> 1$gcd$n$$P$$P^n_{ii}=0$gcd