Стохастический процесс - это процесс, который развивается с течением времени, поэтому действительно ли он является более причудливым способом сказать «временные ряды»?

Поскольку в комментариях и ответах обнаруживаются многие тревожные расхождения, давайте обратимся к некоторым авторитетам.

Джеймс Гамильтон даже не определяет временной ряд, но ему ясно, что это за:

... этот набор чисел является лишь одним из возможных результатов основного стохастического процесса, который генерировал данные. Действительно, даже если бы мы могли вообразить, что наблюдали за процессом в течение бесконечного периода времени, пришли к последовательности { y t } ∞ t = ∞ = { … , y - 1 , y 0 , y 1 , y 2 , … , y T , y T + 1 , y T + 2 , $T$ бесконечная последовательность { y t } ∞ t = ∞ будет по-прежнему рассматриваться как одна реализация из процесса временных рядов. ...

$$\{y_t\}_{t=\infty}^\infty = \{\ldots, y_{-1}, y_0, y_1, y_2, \ldots, y_T, y_{T+1}, y_{T+2}, \ldots, \},$$ $\{y_t\}_{t=\infty}^\infty$

Представьте себе батарею компьютеров ..., генерирующих последовательности { y ( 1 ) t } ∞ t = - ∞ , { y ( 2 ) t } ∞ t = - ∞ , … , { y ( I ) t } ∞ t = - ∞ и рассмотрите возможность выбора наблюдения, связанного с датой t, из каждой последовательности: { y ( 1 $I$$\{y_t^{(1)}\}_{t=-\infty}^{\infty},$ $\{y_t^{(2)}\}_{t=-\infty}^{\infty}, \ldots,$ $\{y_t^{(I)}\}_{t=-\infty}^{\infty}$$t$ Это можно описать как образецIреализаций случайной величиныYt. ...

$$\{y_t^{(1)}, y_t^{(2)}, \ldots, y_t^{(I)}\}.$$ $I$$Y_t$

( Анализ временных рядов , глава 3.)

Таким образом, «процесс временных рядов» представляет собой набор случайных величин проиндексированных целыми числами t .$\{Y_t\}$$t$

В стохастических дифференциальных уравнениях Бернт Оксендал дает стандартное математическое определение общего случайного процесса:

$$\{X_t\}_{t\in T}$$ $(\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{P})$ $\mathbb{R}^n$

$T$$[0,\infty)$$[a,b]$$\mathbb{R}^n$$n\ge 1$

Соединяя их вместе, мы видим, что процесс временных рядов - это случайный процесс, индексированный целыми числами.

Некоторые люди используют «временные ряды» для обозначения реализации процесса временных рядов (как в статье в Википедии ). Мы можем видеть в языке Гамильтона разумное усилие, чтобы отличить процесс от реализации, используя его «процесс временных рядов», чтобы он мог использовать «временной ряд» для ссылки на реализации (или даже данные).

$\left\{X_t\right\}$

Определение случайного процесса

$(\Omega, \mathcal{F}, P)$$S$$\mathbb{R}$

• $\Omega$$S$
• $t$
  • $t \in \mathcal{T}$$X_t$
  • $\omega \in \Omega$$X(\omega)$$X$

Определение временного ряда

В то время как случайный процесс имеет кристально чистое, математическое определение. Временной ряд - это менее точное понятие, и люди используют временные ряды для ссылки на два связанных, но разных объекта:

1. Как описывает WHuber, случайный процесс индексируется целыми числами или некоторой регулярной, инкрементальной единицей времени, которая может в некотором смысле отображаться на целые числа (например, ежемесячные данные).
2. Сбор данных, наблюдаемых через равные промежутки времени. Это может быть реализация случайного процесса, который индексируется целыми числами. Иногда это называется данными временных рядов.

Пример: два щелчка

$\Omega = \{ \omega_{HH}, \omega_{HT}, \omega_{TH}, \omega_{TT}\}$$X_1, X_2$

$\{X_1, X_2\}$$X$$X(\omega_{HH}) = (H, H)$

Разница между стохастическим процессом и временным рядом отчасти похожа на разницу между котом на клавиатуре и ответом на стеке: кошки на клавиатурах могут давать ответы, а кошки на клавиатурах - не ответы. Кроме того, не каждый ответ выдает кошка на клавиатуре.

Временной ряд можно понимать как совокупность пар время-значение-дата-точка. С другой стороны, случайный процесс - это математическая модель или математическое описание распределения временных рядов¹. Некоторые временные ряды являются реализацией случайных процессов (любого типа). Или, с другой точки зрения: я могу использовать стохастический процесс в качестве модели для генерации временного ряда.

Кроме того, временные ряды могут также генерироваться другими способами:

• Они могут быть результатом наблюдений и, таким образом, генерируются реальностью. Хотя я могу моделировать реальность как стохастический процесс (я также могу сказать, что я рассматриваю реальность как случайный процесс), реальность - это не случайный процесс, так же как внутренняя часть коробки не является набором точек (хотя мы часто рассмотреть два эквивалента в контекстах моделирования).

• $x=2$

^{¹ Если это случайный процесс с дискретным временем. Непрерывный случайный процесс - это распределение функций, а не временных рядов.}

Я ценю все внесенные обсуждения / комментарии по теме Временных рядов против Стохастического процесса. Вот мое понимание различия: временной ряд - это наблюдаемое явление, записанное в виде ряда чисел, которое индексируется вместе со временем наблюдения; это, скорее всего, серия наблюдений реального явления, такого как цены на акции на Нью-Йоркской фондовой бирже. С другой стороны, стохастический процесс как всегда понимается как математическое представление (а не производство) временных рядов.