Гауссовские процессы в вейвлет-области: что такое ковариация?

Я читал Марауна и др. «Нестационарные гауссовские процессы в вейвлет-области: синтез, оценка и значимое тестирование» (2007), в котором определяется класс нестационарных ГП, которые можно задавать умножителями в вейвлет-области. Реализация одного такого GP: Где является белым шумом, является непрерывное вейвлетпреобразование по отношению к вейвлет ,

s (t) = M_{h} m (b, a) W_{g} η (t),

$s(t) = M_h m(b,a) W_g \eta(t)\, ,$

η (t)

$\eta(t)$

W_{g}

$W_g$

g

$g$

m (b, a)

$m(b,a)$ это множитель (своего рода как коэффициент Фурье) с масштабом

и время

, а

является обратное вейвлет-преобразование с восстановлением вейвлета

a

$a$

b

$b$

M_{h}

$M_h$

h

$h$

Один из ключевых результатов работы состоит в том, что если множители изменяются только медленно, то сами реализации лишь «слабо» зависят от фактического выбора и . Таким образом, определяет процесс. Они продолжают создавать некоторые важные тесты, чтобы помочь вывести множители вейвлетов на основе реализаций. $m(b,a)$ $g$ $h$ $m(b,a)$

Два вопроса:

1. Как мы оцениваем стандартную вероятность ГП, которая равна ? $p(D) = \mathcal{N}(0,K)$

Я предполагаю, что мы эффективно меняем координаты, поэтому где - вейвлеты, а - (диагональ?) Матрица вейвлет-коэффициентов . Тем не менее, они используют неортонормальный CWT, поэтому я не знаю, правильно ли это. $K^{-1} = W^T M^{-1} W$ $W$ $M$ $m(a,b)$

2. Как этот вейвлет-домен GP может быть связан с GP реального пространства ? В частности, можем ли мы вычислить ядро в реальном пространстве (нестационарное) из ? $k$ $m(a,b)$

Для сравнения, ядром стационарных гауссовских процессов является двойственное число Фурье от его спектральной плотности (теорема Бохнера, см. Главу 4 Расмуссена), что дает простой способ переключения между реальным пространственным GP и частотным пространственным. Здесь я спрашиваю, есть ли такие отношения в области вейвлетов.

normal-distribution stochastic-processes gaussian-process fourier-transform wavelet cgreen
источник

Вы получили что-нибудь с этим. Я не уверен, что смена переменных является правильной, поскольку это противоречило бы, когда они говорят, что

называется воспроизводящим ядром ?

K_{g, h} (b - b / a, a / a) = W_{g, h} (b - b / a)

$K_{g,h}(b−b/a,a/a)=W_{g,h}(b−b/a)$

TDC

Ответы:

Процесс вождения, белый шум η (t), не зависит от выбора базы. В CWT (в отличие от прыжков DWT в октавах) есть некоторая избыточность, узкие полосы частот перекрываются. «Характеристика», проверяемая на значимость, представляет собой дисперсию (мощность), наблюдаемую на узкой частоте в течение короткого времени. Очевидно, это математически зависит от выбранного вейвлета, но не очень сильно: более узкая полоса пропускания может обнаруживать медленнее изменяющиеся объекты с большей чувствительностью, более широкая полоса пропускания более чувствительна, но имеет более шумный фон и менее специфична.

Поскольку это измеряет пространство вейвлета, оно интегрируется по длительности вейвлета, то преобразование, которое вы написали, будет для любого «момента времени». Как правило, необходима информация о фазе для инвертирования CWT. Тест Марауна по сути является хи-квадрат по силе.
Нет. Мараун зависит от отношения сигнал / шум в полосе частот во временном диапазоне, это может иметь много разных реализаций в шумовом пространстве и не зависит от фазы. Он чувствителен к сигналу AR (1) в вейвлет-области на определенной частоте, то есть колебании, поддерживаемом во времени, например, в области CWT будет иметь тенденцию подавлять изолированный всплеск широкополосного шума.

Джеймс Причард
источник