pdf произведения двух независимых случайных величин, нормальной и хи-квадрат

17

что такое pdf произведения двух независимых случайных величин X и Y, если X и Y независимы? X нормально распределен, а Y - хи-квадрат.

Z = XY

если X имеет нормальное распределение

XN(μx,σx2)
fX(x)=1σx2πe12(xμxσx)2
иYимеет распределение хи-квадрат сkстепенью свободы
Yχk2
fY(y)=y(k/2)1ey/22k/2Γ(k2)u(y)
гдеu(y)- единичная ступенчатая функция.

Теперь, что такое PDF если X и Y независимы?ZXY

Один из способов найти решение состоит в том, чтобы использовать хорошо известный результат Рохатги (1976, с.141), если - объединенная pdf непрерывных RV's X и Y , pdf Z - это f Z ( z ) = - 1fXY(x,y)XYZ

fZ(z)=1|y|fXY(zy,y)dy

поскольку и Y независимы, f X Y ( x , y ) = f X ( x ) f Y ( y ) f Z ( z ) = - 1XYfXY(x,y)=fX(x)fY(y) fZ(z)=1

fZ(z)=1|y|fX(zy)fY(y)dy
Где мы сталкиваемся с проблемой решения интеграла01
fZ(z)=1σx2π12k/2Γ(k2)01|y|e12(zyμxσx)2y(k/2)1ey/2dy
. Может ли кто-нибудь помочь мне с этой проблемой.01|y|e12(zyμxσx)2y(k/2)1ey/2dy

Есть ли альтернативный способ решить эту проблему?

Робин
источник
2
Этот последний шаг выглядит не совсем правильно. " ", по-видимому, означаетfX, но, что более важно, вы не можете просто изменить нижний предел на0: вам нужно разбить интеграл на два отдельных в0, изменитьy-yна тот, который находится в отрицательном диапазоне , а затем объединить два. Я считаю, что это может сделать интеграцию трактовкой: она, кажется, дает линейную комбинацию обобщенных гипергеометрических функций.fXYfX00yy
whuber
Да, это была ошибка должно бытьfX(zfZY(zy). fX(zy)
Робин
Но я полагаю, что изменение нижнего предела на 0 действительно, потому что - это функция на ( 0 , ), которая указывается функцией единичного шага u ( y ) . fY(y)(0,)u(y)
Робин
Я больше не обучен такого рода вычислениям ... но не похоже, что в итоге получится замкнутая формула. Если вам это нужно для практического применения, я думаю, вам следует сосредоточиться на том, «как эффективно это вычислить».
Элвис
4
Есть ли мотивация для этого вопроса? Нормаль, деленная на - это т Студента , но почему вы считаете нормальный, умноженный или деленный на χ 2 ? χtχ2
Сиань

Ответы:

1

simplify the term in the integral to

T=e12((zyμxσx)2y)yk/22

find the polynomial p(y) such that

[p(y)e12((zyμxσx)2y)]=p(y)e12((zyμxσx)2y)+p(y)[12((zyμxσx)2y)]e12((zyμxσx)2y)=T

which reduces to finding p(y) such that

p(y)+p(y)[12((zyμxσx)2y)]=yk/22

or

p(y)12p(y)(zμxσx2y2z2σx2y31)=yk/22

which can be done evaluating all powers of y seperately


edit after comments

Above solution won't work as it diverges.

Yet, some others have worked on this type of product.

Using Fourrier transform:

Schoenecker, Steven, and Tod Luginbuhl. "Characteristic Functions of the Product of Two Gaussian Random Variables and the Product of a Gaussian and a Gamma Random Variable." IEEE Signal Processing Letters 23.5 (2016): 644-647. http://ieeexplore.ieee.org/document/7425177/#full-text-section

For the product Z=XY with XN(0,1) and YΓ(α,β) they obtained the characteristic function:

φZ=1βα|t|αexp(14β2t2)Dα(1β|t|)

with Dα Whittaker's function ( http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_686.htm )

Using Mellin transform:

Springer and Thomson have described more generally the evaluation of products of beta, gamma and Gaussian distributed random variables.

Springer, M. D., and W. E. Thompson. "The distribution of products of beta, gamma and Gaussian random variables." SIAM Journal on Applied Mathematics 18.4 (1970): 721-737. http://epubs.siam.org/doi/10.1137/0118065

They use the Mellin integral transform. The Mellin transform of Z is the product of the Mellin transforms of X and Y (see http://epubs.siam.org/doi/10.1137/0118065 or https://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177730201). In the studied cases of products the reverse transform of this product can be expressed as a Meijer G-function for which they also provide and prove computational methods.

They did not analyze the product of a Gaussian and gamma distributed variable, although you might be able to use the same techniques. If I try to do this quickly then I believe it should be possible to obtain an H-function (https://en.wikipedia.org/wiki/Fox_H-function ) although I do not directly see the possibility to get a G-function or make other simplifications.

M{fY(x)|s}=2s1Γ(12k+s1)/Γ(12k)

and

M{fX(x)|s}=1π2(s1)/2σs1Γ(s/2)

you get

M{fZ(x)|s}=1π232(s1)σs1Γ(s/2)Γ(12k+s1)/Γ(12k)

and the distribution of Z is:

fZ(y)=12πicic+iysM{fZ(x)|s}ds

which looks to me (after a change of variables to eliminate the 232(s1) term) as at least a H-function

what is still left is the puzzle to express this inverse Mellin transform as a G function. The occurrence of both s and s/2 complicates this. In the separate case for a product of only Gaussian distributed variables the s/2 could be transformed into s by substituting the variable x=w2. But because of the terms of the chi-square distribution this does not work anymore. Maybe this is the reason why nobody has provided a solution for this case.

Sextus Empiricus
источник
1
... which yields ...?
wolfies
it gives the antiderivative of the term in the integral that is to be solved according to the question
Sextus Empiricus
It is unclear what progress this analysis represents. Do you obtain a solution or not?
whuber
Finding the coefficients of the polynomial p(y) (which closes the solution) is a tedious, but straightforward, task which I left open. I will soon enter some examples for some k.
Sextus Empiricus