Являются ли различия между равномерно распределенными числами равномерно распределенными?

Мы бросаем шестигранный кубик большое количество раз.

Вычисляя разницу (абсолютную величину) между рулоном и его предыдущим рулоном, должны ли различия быть равномерно распределены?

Для иллюстрации с 10 рулонами:

roll num  result diff
1           1     0
2           2     1
3           1     1
4           3     2
5           3     0
6           5     2
7           1     4
8           6     5
9           4     2
10          4     0

Будут ли diffзначения равномерно распределены?

Нет, это не равномерно

Вы можете посчитать $36$ одинаково вероятных возможностей для абсолютных различий

     second 1   2   3   4   5   6
first                           
1           0   1   2   3   4   5
2           1   0   1   2   3   4
3           2   1   0   1   2   3
4           3   2   1   0   1   2
5           4   3   2   1   0   1
6           5   4   3   2   1   0

который дает распределение вероятности для абсолютных разностей

0    6/36  1/6
1   10/36  5/18
2    8/36  2/9
3    6/36  1/6
4    4/36  1/9
5    2/36  1/18

Используя только самые основные аксиомы о вероятностях и действительных числах, можно доказать гораздо более сильное утверждение:

Разница любых двух независимых одинаково распределенных непостоянных случайных значений $X-Y$ никогда не имеет дискретного равномерного распределения.

(Аналогичное утверждение для непрерывных переменных доказано в Uniform PDF разности двух rv .)

Идея состоит в том, что вероятность того, что $X-Y$ является экстремальным значением, должна быть меньше, чем вероятность того, что $X-Y$ равна нулю, потому что есть только один способ (скажем) максимизировать $X-Y$ тогда как есть много способов уменьшить ноль. потому что $X$ и $Y$ имеют одинаковое распределение и поэтому могут равняться друг другу. Вот подробности.

Прежде всего заметим, что гипотетические две переменные $X$ и $Y$ идет речь, каждая из них может достичь только конечного числа $n$ значений с положительной вероятностью, потому что будет как минимум $n$ различных различий, и равномерное распределение присваивает им одинаковую вероятность. Если $n$ бесконечно, то так будет число возможных различий, имеющих положительную, равную вероятность, откуда сумма их шансов будет бесконечной, что невозможно.

Далее , поскольку число различий конечно, среди них будет наибольшее. Наибольшая разница может быть достигнута только в том случае, если вычесть наименьшее значение из $Y$ -let, называющего его $m$ и предположить, что оно имеет вероятность $q = \Pr(Y=m)$ - из наибольшего значения вызова $X$ -let, что это $M$ с $p = \Pr(X=M).$ Поскольку $X$ и $Y$ независимы, вероятность этой разницы является результатом этих шансов,

Наконец , потому что $X$ и$Y$ имеют одинаковое распределение, есть много способов их различия могут продуцировать значение$0.$ Среди этих способов являются случаикогда$X=Y=m$ и$X=Y=M.$ Поскольку это распределение непостоянное,$m$ отличается от$M.$Это показывает, что эти два случая являются непересекающимися событиями, и поэтому они должны вноситькак минимумвеличину$p^2 + q^2$ в вероятность того, что$X-Y$ноль; то есть,

Так как квадраты чисел не являются отрицательными, $0 \le (p-q)^2,$ откуда мы выводим из $(*)$ что

показывая распределение $X-Y$ не является равномерным, QED.

Редактировать в ответ на комментарий

Аналогичный анализ абсолютных различий $|X-Y|$отмечает, что, потому что $X$ и$Y$ имеют одинаковое распределение,$m=-M.$Это требует от нас изучения$\Pr(X-Y=|M-m|) = 2pq.$Тот же алгебраический метод дает почти тот же результат, но есть вероятность, что$2pq=2pq+(p-q)^2$ и$2pq+p^2+q^2=1.$ Эта система уравнений имеет единственное решение$p=q=1/2$ , соответствующей справедливой монеты (а «двусторонний умереть»). Помимо этого исключения, результат для абсолютных различий такой же, как и для различий, и по тем же базовым причинам, которые уже приведены: а именно, абсолютные различия двух случайных переменных iid не могут быть равномерно распределены, когда имеется более двух различных различий с положительной вероятностью.

(конец редактирования)

Давайте применим этот результат к вопросу, который задает что-то более сложное.

Смоделируйте каждый независимый бросок кристалла (который может быть нечестным штампом) со случайной величиной $X_i,$ $i=1, 2, \ldots, n.$ Различиянаблюдаемые в этих$n$ валков число$\Delta X_i = X_{i+1}-X_i.$ Мы могли бы задаться вопросом, насколько равномерно распределены эти$n-1$ числа. Это действительно вопрос о статистических ожиданиях: что ожидаемое число$\Delta X_i$например, равны нулю? Что такое ожидаемое число $\Delta X_i$ равняться $-1$ ? И т. Д.

Проблематичный аспект этого вопроса является то , что $\Delta X_i$ является не независимыми: например, $\Delta X_1 = X_2-X_1$ и $\Delta X_2 = X_3 - X_2$ включает один и тот же рулон $X_2.$

Тем не менее, это не очень сложно. Поскольку статистическое ожидание является аддитивным и все различия имеют одинаковое распределение, если мы выберем любое возможное значение $k$ различий, ожидаемое число раз, равное разнице$k$ во всей последовательности из$n$ бросков, будет просто в$n-1$ раз больше ожидаемого числа раз разница равна$k$ в один шаг процесса. Это одношаговое ожидание$\Pr(\Delta X_i = k)$ (для любого$i$ ). Эти ожидания будут одинаковыми для всех$k$ (то естьравномерно) тогда и только тогда, когда они одинаковы для одного $\Delta X_i.$ Но мы видели , что ни $\Delta X_i$ не имеет равномерное распределение, даже когда умирают может быть предвзятым. Таким образом, даже в этом более слабом смысле ожидаемых частот различия роликов не являются однородными.

На интуитивном уровне случайное событие может быть равномерно распределено, только если все его результаты одинаково вероятны.

Так ли это для рассматриваемого случайного события - абсолютной разницы между двумя бросками костей?

В этом случае достаточно взглянуть на крайности - каковы самые большие и самые маленькие значения, которые может принимать эта разница?

Очевидно, что 0 - наименьшее (мы смотрим на абсолютные различия, и броски могут быть одинаковыми), а 5 - самое большое ( 6против 1).

Мы можем показать, что событие неоднородно, показав, что 0вероятность его возникновения (или меньше) выше, чем 5.

На первый взгляд, есть только два способа возникновения 5 - если первый кубик равен 6, а второй - 1, или наоборот . Сколько способов может возникнуть 0?

Как представил Генри, различия в равномерно распределенных распределениях распределены неравномерно.

Чтобы проиллюстрировать это с помощью смоделированных данных, мы можем использовать очень простой R-скрипт:

barplot(table(sample(x=1:6, size=10000, replace=T)))

Мы видим, что это действительно дает равномерное распределение. Давайте теперь посмотрим на распределение абсолютных отличий двух случайных выборок от этого распределения.

barplot(table(abs(sample(x=1:6, size=10000, replace=T) - sample(x=1:6, size=10000, replace=T))))

Другие работали над расчетами, я дам вам ответ, который кажется мне более интуитивным. Вы хотите изучить сумму двух в единицах от rv (Z = X + (-Y)), общее распределение представляет собой (дискретный) продукт свертки:

$z$$k$$z$

Из обработки сигналов мы знаем, как ведет себя продукт свертки:

• Произведение свертки двух равномерных функций (двух прямоугольников) даст треугольник. Это иллюстрируется википедией для непрерывных функций:

• $z$$z$

• В более общем смысле мы знаем, что единственными функциями, которые устойчивы при свертке, являются функции семейства гауссовских. т.е. только гауссовское распределение является стабильным путем сложения (или, в более общем случае, линейной комбинации). Это также означает, что вы не получите равномерное распределение при объединении равномерных распределений.

Что касается того, почему мы получаем эти результаты, ответ лежит в разложении этих функций по Фурье. Преобразование Фурье продукта свертки является простым произведением преобразований Фурье каждой функции. Это дает прямую связь между четырьмя коэффициентами функций прямоугольника и треугольника.

$x$$y$$|x-y| = k$$k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$$k$

Как вы можете легко видеть, количество точек для каждого цвета не одинаково; следовательно, различия не распределены равномерно.

$D_t$$X$$P(D_t = 5) = P(X_t = 6, X_{t-1} = 1) < P((X_t, X_{t-1}) \in \{(6, 3), (5, 2)\}) < P(D_t = 3)$

Так что функция $P(D_t = d)$ не является постоянным в $d$, Это означает, что распределение не является равномерным.