Так что здесь я изучаю вывод. Мне бы хотелось, чтобы кто-то мог перечислить преимущества экспоненциальной семьи. Под экспоненциальным семейством я подразумеваю распределения, которые задаются как
чья поддержка не зависит от параметра . Вот некоторые преимущества, которые я узнал:
(а) Включает в себя широкий спектр распределений.
(б) Он предлагает естественную достаточную статистику согласно теореме Неймана-Фишера.
(c) Позволяет дать хорошую формулу для производящей момент функции .
(d) Это позволяет легко отделить связь между ответом и предиктором от условного распределения ответа (через функции связи).
Кто-нибудь может предоставить какое-то другое преимущество?
self-study
exponential-family
user1337
источник
источник
Ответы:
Я думаю, что ваш список преимуществ эффективно отвечает на ваш собственный вопрос, но позвольте мне предложить несколько метаматематических комментариев, которые могут прояснить эту тему. Вообще говоря, математики любят обобщать понятия и результаты вплоть до максимальной точки, которую они могут, в пределах их полезности, То есть, когда математики разрабатывают концепцию и обнаруживают, что к этой концепции применима одна или несколько полезных теорем, они, как правило, будут стремиться обобщать концепцию и результаты все больше и больше, пока не дойдут до того, что дальнейшее обобщение сделает результаты неприменимыми. или больше не полезно. Как видно из вашего списка, к экспоненциальному семейству прикреплен ряд полезных теорем, и он охватывает широкий класс распределений. Этого достаточно, чтобы сделать его достойным объектом изучения и полезным математическим занятием на практике.
Этот класс обладает различными хорошими свойствами в байесовском анализе. В частности, экспоненциальные семейные распределения всегда имеют сопряженные априорные, а результирующее апостериорное предиктивное распределение имеет простую форму. Это делает чрезвычайно полезным класс распределений в байесовской статистике. Действительно, он позволяет проводить байесовский анализ с использованием сопряженных априоров с чрезвычайно высоким уровнем общности, охватывающим все распределительные семейства в экспоненциальном семействе.
источник
Я бы сказал, что наиболее убедительной мотивацией для экспоненциальных семейств является то, что они представляют собой минимальное предполагаемое распределение с учетом измерений . Если у вас есть действительный датчик, измерения которого суммируются по среднему значению и дисперсии, то минимальное допущение, которое вы можете сделать относительно его наблюдений, состоит в том, что они обычно распределены. Каждое экспоненциальное семейство является результатом аналогичного набора допущений.
Джейнс придерживается этого принципа максимальной энтропии:
источник