Есть ли примеры нормально распределенной переменной, которая * не * обусловлена ​​центральной предельной теоремой?

11

Нормальное распределение кажется не интуитивным, пока вы не изучите CLT, что объясняет, почему оно так распространено в реальной жизни. Но возникает ли когда-либо как «естественное» распределение для некоторого количества?

normal-distribution central-limit-theorem gardenhead
источник
4
Физическая теория диффузии, в той степени, в которой она применима к любой системе, предсказывает нормальные распределения величин (например, температуры или концентрации), возникающих в точке. Действительно, очень многие системы являются диффузионными (цены опционов, перенос частиц в однородных средах и т. Д.), Что говорит о том, что примеров достаточно, если предположить, что они не настолько наивны, чтобы предположить, что нормальное распределение должно точно соответствовать нереально большим или малым значениям. - это было бы недоразумением всей физической теории.
whuber
2
Нормальное распределение кажется неинтуитивным, пока вы не узнаете, что оно максимизирует энтропию при ограничении фиксированной дисперсии.
leonbloy

Ответы:

11

В какой-то степени я думаю, что это может быть как философским, так и статистическим вопросом.

Многие природные явления примерно нормально распределены. Можно утверждать, может ли основная причина этого быть чем-то вроде CLT:

  • Высоты людей могут рассматриваться как сумма многих более мелких причин (возможно, независимых, маловероятно одинаково распределенных): длины различных костей, или результаты различных выражений генов, или результаты многих диетических влияний, или некоторая комбинация всего вышеперечисленного ,

  • Баллы за тесты можно рассматривать как суммы баллов по многим отдельным тестовым вопросам (возможно, одинаково распределенные, вряд ли полностью независимые).

  • Расстояние, на которое частица перемещается в одном измерении в результате броуновского движения в жидкости. Движение можно абстрактно рассматривать как случайное блуждание, возникающее в результате случайных попаданий IID молекул.

(0,2π).который вы можете погуглить.] Однако нормальные координаты x и y можно рассматривать как сумму многих небольших неточностей в нацеливании, которые могут оправдать механизм, связанный с CLT в фоновом режиме.

В историческом смысле широкое использование нормальных (гауссовских) распределений вместо двойных экспоненциальных (лапласовых) для моделирования астрономических наблюдений может быть частично связано с CLT. В первые дни моделирования ошибок таких наблюдений велись споры между Гауссом и Лапласом , каждый из которых выступал за свое любимое распределение. По разным причинам нормальная модель победила. Можно утверждать, что одной из причин возможного успеха нормального распределения было математическое удобство, основанное на нормальных пределах CLT. Это кажется верным, даже когда неясно, какое семейство дистрибутивов обеспечивает лучшее соответствие. (Даже сейчас есть еще астрономы, которые считают, что «одно лучшее наблюдение»сделанный дотошным, уважаемым астрономом, несомненно, будет лучшим значением, чем среднее из многих наблюдений, сделанных предположительно менее одаренными наблюдателями. По сути, они не хотели бы никакого вмешательства со стороны статистиков.)

BruceET
источник
Ага. Все еще исправляю опечатки. Спасибо, что заметили это. Та же ошибка в «результатах тестов» также исправлена.
BruceET
-3

Многие естественные переменные обычно распределены. Высоты людей? Размер колоний животных?

Счастливый
источник
1
@Happy На самом деле ни один из приведенных здесь примеров обычно не распространяется, потому что поддержка нормального распределения равна -infinity to + infinity, и приведенные примеры никогда не могут быть равны нулю или меньше. В каждом случае нормальное распределение может быть полезным приближением, но не в том случае, если вас интересуют хвосты распределения.
JeremyC
2
Рост человека является результатом суммы (приблизительно) независимых генов, поэтому они на самом деле происходят из-за CLT.
садовник
2
@ArtemMavrin: получение отрицательной высоты было бы чем-то вроде 8+ стандартных отклонений. Если кто-то возражает против нормального приближения, не действительного, потому что он помещает нулевую массу вероятности за 8 с.д., вы также можете жаловаться, что действительно нормально распределенное значение нерационально с вероятностью 1, но все наши измерения являются рациональными числами.
Клифф AB
1
@ArtemMavrin: хорошо, если вопрос о чем-то точно распределенном, этот ответ прост: нет. Даже не rnorm(1). То же самое со всеми дистрибутивами, кроме многочленов.
Клифф AB
2
n→∞