Предположим, что у меня есть два одномерных маргинальных распределения, скажем, и , из которых я могу смоделировать. Теперь построим их совместное распределение, используя гауссову связку , обозначаемую . Все параметры известны.
Есть ли не-MCMC метод для симуляции из этой связки?
Ответы:
Существует очень простой метод для моделирования с помощью гауссовой связки, который основан на определениях многомерного нормального распределения и гауссовой связки.
Я начну с предоставления требуемого определения и свойств многомерного нормального распределения, за которым следует гауссова связка, а затем я приведу алгоритм для моделирования из гаулы Гаусса.
Многомерное нормальное распределениеX=(X1,…,Xd)′
Случайный вектор имеет многомерное нормальное распределение, если X d = μ + A Z , где Z - k- мерный вектор независимых стандартных нормальных случайных величин, μ - это d- мерный вектор констант, а A - матрица констант d × k . Обозначение d =
Гаусс копула Гаусс копула определяются неявным образом из многомерного нормального распределения, то есть, связка Гаусс является копулой связан с многомерным нормальным распределением. В частности, по теореме Склара копула Гаусса имеет вид C P ( u 1 , … , u d ) = Φ P ( Φ - 1 ( u 1 ) , … , Φ - 1 ( u d ) ) , где Φ
Алгоритм моделированияP Σ A Σ
В свете вышеизложенного естественным подходом к моделированию из связки Гаусса является моделирование из многомерного стандартного нормального распределения с соответствующей корреляционной матрицей и преобразование каждого запаса с использованием интегрального преобразования вероятности со стандартной функцией нормального распределения. В то время как моделирование из многомерного нормального распределения с ковариационной матрицей Σ по существу сводится к получению взвешенной суммы независимых стандартных нормальных случайных величин, где «весовая» матрица A может быть получена путем разложения Холецкого ковариационной матрицы Σ .
Следующий код в примере реализации этого алгоритма с использованием R:
Следующая диаграмма показывает данные, полученные из приведенного выше кода R.
источник