Какое распределение использовать для моделирования времени до прибытия поезда?

Я пытаюсь смоделировать некоторые данные о времени прибытия поезда. Я хотел бы использовать дистрибутив, который фиксирует «чем дольше я жду, тем больше вероятность того, что поезд появится» . Похоже, что такой дистрибутив должен выглядеть как CDF, так что P (Train Train Up | Ожидал 60 минут) близко к 1. Какой дистрибутив подходит для использования здесь?

Умножение двух вероятностей

Вероятность первого прибытия в момент времени между $t$ и $t+dt$ (время ожидания) равна умножению

• вероятность прибытия между $t$ и $t+dt$ (которая может быть связана со скоростью прибытия $s(t)$ в момент времени $t$ )
• и вероятность не прибытия до времени $t$ (иначе он не был бы первым).

Этот последний термин связан с:

$$P(n=0,t+dt) = (1-s(t)dt) P(n=0,t)$$

или

$$\frac{\partial P(n=0,t)}{\partial t} = -s(t) P(n=0,t)$$

давая:

$$P(n=0,t) = e^{\int_0^t-s(t) dt}$$

и распределение вероятностей для времени ожидания:

$$f(t) = s(t)e^{\int_0^t-s(t) dt}$$

Вывод совокупного распределения.

В качестве альтернативы вы можете использовать выражение для вероятности менее чем одного прибытия при условии, что время $t$

$$P(n<1|t) = F(n=0;t)$$

и вероятность прибытия между временем $t$ и $t+dt$ равна производной

$$f_{\text{arrival time}}(t) = - \frac{d}{d t} F(n=0 \vert t)$$

Этот подход / метод полезен, например, для получения гамма-распределения как времени ожидания n-го прихода в пуассоновском процессе. (время ожидания пуассоновского процесса, следующего за гамма-распределением )

---

Два примера

Вы можете связать это с парадоксом ожидания ( пожалуйста, объясните парадокс ожидания ).

• Экспоненциальное распределение: если поступления являются случайными, как процесс Пуассона, то $s(t) = \lambda$ является постоянным. Вероятность следующего заезда не зависит от предыдущего времени ожидания без заезда (скажем, если вы бросаете правильные кости много раз без шести, то для следующего броска у вас не будет внезапно более высокой вероятности за шесть, см. Ошибку игрока ) , Вы получите экспоненциальное распределение, и pdf для времени ожидания:

  $$f(t) = \lambda e^{-\lambda t}$$

• $T$$t$$s(t) = 1/(T-t)$

  $$f(t)= \frac{e^{\int_0^t -\frac{1}{T-t} dt}}{T-t} = \frac{1}{T}$$ $0$$T$

---

Так что это второй случай, с «вероятность того, что человек уже некоторое время ждал, возрастает». , относится к вашему вопросу.

$s(t) dt$ что поезд прибудет в определенный момент, может быть более сложной функцией.

---

Автор StackExchangeStrike

Классическим распределением для моделирования времени ожидания является экспоненциальное распределение .

Экспоненциальное распределение происходит естественным образом при описании длин времен прихода в однородном пуассоновском процессе.