Нахождение предельных плотностей

Как видно из названия, я ищу предельные плотности

f (x, y) = c \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}, x^{2} + y^{2} \leq 1.

$f (x,y) = c \sqrt{1 - x^2 - y^2}, x^2 + y^2 \leq 1.$

До сих пор я нашел чтобы быть . Я понял это путем преобразования в полярные координаты и интегрирования через , поэтому я застрял в части предельных плотностей. Я знаю, что , но я не уверен, как решить эту проблему, не получив большой грязный интеграл, и я знаю, что ответ не должен быть большой грязный интеграл. Можно ли вместо этого найти , а затем взять чтобы найти $c$ $\frac{3}{2 \pi}$ $f(x,y)$ $drd\theta$ $f_x(x) = \int_{-\infty}^\infty f(x,y)dy$ $F(x,y)$ $\frac{dF}{dx}$ $f_x(x)$ ? Это кажется интуитивным способом сделать это, но я не могу найти ничего в своем учебнике, в котором говорится об этих отношениях, поэтому я не хотел делать неправильные предположения.

self-study marginal multivariable Джаррод
источник

@kwak Я не уверен, почему изменение названия было необходимо ... тега "домашнее задание" должно быть достаточно.

Шейн

@Shane:> хорошо, вернулась к оригиналу.

user603 11.10.10

Ответы:

Геометрия помогает здесь. График представляет собой сферический купол единичного радиуса. (Из этого сразу следует, что его объем составляет половину объема единичной сферы, , откуда .) Предельные плотности задаются областями вертикальных сечений через эта сфера. Очевидно, каждое поперечное сечение является полукругом: чтобы получить предельную плотность, найдите его радиус как функцию оставшейся переменной и используйте формулу для площади круга. Нормализация полученной одномерной функции, чтобы иметь единичную площадь, превращает ее в плотность. $f$ $(4 \pi /3)/2$ $c=3/(2 \pi)$

Whuber
источник

Ааа, это как бы возвращается ко мне из многовариантного исчисления. Я помню, как делал такие проблемы. Как найти радиус в зависимости от оставшейся переменной? По-прежнему кажется, что у меня останется какой-то монстровый интеграл.

Джаррод

y

$y$

x^{2} \leq 1 - y^{2}

$x^2 \le 1-y^2$

\sqrt{1 - y^{2}}

$\sqrt{1 - y^2}$

π (1 - y^{2}) / 2.

$\pi (1 - y^2)/2.$

О верно. Это пришло мне в голову, но это казалось слишком простым. Я думаю, я был полон решимости сделать это сложным. Спасибо!

Джаррод

Я забыл спросить: как с этим справиться?

Джаррод

По моему мнению, ответ Уубер заслуживает того, чтобы за него проголосовали по двум причинам. Во-первых, он отвечает на заданный вопрос, во-вторых, как модель того, как мы могли бы в будущем обрабатывать (в явном виде) вопросы с домашними заданиями: этот тип ответов фактически способствует процессу обучения и может быть лучшей политикой в отношении вопроса о домашних заданиях, чем принятый. в МО / СО.

user603