Ожидаемое значение и дисперсия следовой функции

Для случайных величин и положительной полуопределенной матрицы A : существует ли упрощенное выражение для ожидаемого значения E [ T r ( X T A X ) ] и дисперсии, ? Обратите внимание, что не является случайной величиной.$X \in \mathbb{R}^h$$A$$\mathop {\mathbb E}[Tr(X^TAX)]$$Var[Tr(X^TAX)]$$A$

Поскольку $X^TAX$ является скаляром,

$$\text{Tr}(X^TAX)= X^TAX = \text{Tr}(AXX^T)$$ так что $$\text{E}(X^TAX) = \text{E}(\text{Tr}(AXX^T)) = \text{Tr}(\text{E} (A XX^T)) = \text{Tr}(A\text{E}(XX^T))$$ .

Здесь мы использовали, что след продукта инвариантен относительно циклических перестановок факторов, и что след является линейным оператором, поэтому коммутирует с ожиданием. Разница гораздо сложнее вычисления, которые также нужны более высокие моменты $X$ . Этот расчет можно найти в Seber: «Анализ линейной регрессии» (Wiley)