Ожидаемое значение лог-определителя матрицы Вишарта

Пусть , т.е. распределяется по мерному распределению Вишарта со средними и степенями свободы \ nu . Я хотел бы выражение для E (\ log | \ Lambda |), где | \ Lambda | это определитель.D × D ν Ψ ν E ( log | Λ | ) | Λ $\Lambda \sim \mathcal W_D(\nu, \Psi)$$D \times D$$\nu \Psi$$\nu$$E(\log |\Lambda|)$$|\Lambda|$

Я немного погуглил за ответ на этот вопрос и получил противоречивую информацию. В этой статье прямо говорится, что

$$E(\log|\Lambda|) = D \log 2 + \log |\Psi| + \sum_{i = 1} ^ D \psi\left(\frac{\nu - i + 1} 2\right)$$ где $\psi(\cdot)$ обозначает функцию дигаммы $\frac d {dx} \log \Gamma(x)$ ; насколько я могу судить, статья не дает источника этого факта. Это также формула, используемая на странице Википедии для Wishart , на которой размещен текст распознавания образов епископа.

С другой стороны, Google включил эту дискуссию в связанную статью, в которой говорится, что

$$\nu^D \frac{|\Lambda|}{|\Psi|} \sim \chi^2_\nu \chi^2_{\nu - 1} \cdots\chi^2_{\nu - D + 1}. \qquad (\dagger)$$ В заключение они утверждают, что $$E(\log | \Lambda|) = D \log 2 - D \log \nu + \log |\Psi| + \sum_{i = 1} ^ D \psi\left(\frac{\nu - i + 1} 2\right)$$ который получается с использованием того факта, что $E(\log \chi^2_\nu) = \log(2) + \psi(\nu /2)$ . Я проверил этот расчет, начиная с $(\dagger)$ и, кажется, все в порядке, но у нас есть дополнительный $-D\log\nu$ .

Когда я готовился опубликовать это, я смог ответить на свой вопрос. В соответствии с общим этикетом StackExchange я решил опубликовать его в любом случае в надежде, что кто-то, кто столкнется с этой проблемой, может найти это в будущем, возможно, после столкновения с теми же проблемами с источниками, что и я. Я решил ответить на него немедленно, чтобы никто не тратил на это время, так как решение неинтересно.

$(\dagger)$ не так, потому что в статье, на которую ссылались в обсуждении, использовалась другая параметризация Wishart; участники дискуссии этого не заметили. На самом деле мы должны иметь После этого исправления две формулы приводят к одному и тому же ответу.

$$\frac{|\Lambda|}{|\Psi|} \sim \chi^2_\nu \chi^2_{\nu - 1} \cdots\chi^2_{\nu - D + 1}. \qquad (\dagger\dagger)$$

В любом случае, я думаю, что - интересные отношения.$(\dagger\dagger)$

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Следуя совету вероятностной логики, мы можем написать где нижний треугольник имеет элементов вне диагонали, а элементы на диагонали. Взятие определителя с обеих сторон дает немедленно.$\Lambda \stackrel d = \Psi^{1/2} L L^T \Psi^{1/2}$$L$$N(0, 1)$$\sqrt{\chi^2_{\nu - i + 1}}, (i = 1, ..., D)$$(\dagger\dagger)$