Если у меня есть два различных симметричных (относительно медианы) распределения и , является ли разность также симметричным (относительно медианы) распределением?Y X - Y
distributions
median
Alessio93
источник
источник
Ответы:
Пусть и - PDF-файлы, симметричные относительно медиан и соответственно. Пока и независимы, распределение вероятности разности является сверткой и , т.е.Y ∼ g ( y ) a b X Y Z = X - Y X - YX∼f(x) Y∼g(y) a b X Y Z=X−Y X −Y
где - это просто PDF над с медианой- Y - b .h(y)=g(−y) −Y −b.
Интуитивно, мы ожидаем, что результат будет симметричным относительно поэтому давайте попробуем это.a−b
Во второй строке я использовал подстановку в интеграле. В третьей строке я использовал симметрию относительно и относительноЭто доказывает, что симметрично относительно если симметрично относительно и симметрично относительноf ( x ) a g ( - y ) - b . p ( z ) a - b f ( x )v=b−y f(x) a g(−y) −b. p(z) a−b f(x) г ( у ) б .a g(y) b.
Если бы и не были независимыми, а и были просто маргинальными распределениями, то нам нужно было бы знать совместное распределение,Тогда в интеграле мы должны были бы заменить наОднако только потому, что маргинальные распределения симметричны, это не означает, что совместное распределение симметрично относительно каждого из его аргументов. Таким образом, вы не можете применить аналогичные рассуждения.Y f g X , Y ∼ h ( x , y ) . f ( z + y ) g ( - y ) h ( z + y , - y ) .X Y f g X,Y∼h(x,y). f(z+y)g(−y) h(z+y,−y).
источник
Это будет зависеть от отношения между и , вот контрольный пример, где и симметричны, но нет:у х у х - уx y x y x−y
y = [ - 1 , - 3 , 0 , 1 , 3 ] x - y = [ - 3 , 1 , 0 , 1 , 1 ]
Таким образом, здесь медиана отличается от медианы, а не симметрична. х - уx−y x−y
редактировать
Это может быть понятнее в нотации @ whuber:
Рассмотрим дискретное равномерное распределение, где и связаны так, что вы можете выбрать только одну из следующих пар:уx y
Если вы настаиваете на мышлении в полном совместном распределении, рассмотрите случай, когда может принимать любое из значений а может принимать значения и комбинация может принять любую из 25 пар. Но вероятность указанных выше пар составляет 16% каждая, а все остальные возможные пары имеют вероятность 1% каждая. Предельное распределение будет дискретным, причем каждое значение имеет вероятность 20% и, следовательно, симметрично относительно медианы 0, то же самое верно для . Возьмите большой образец из совместного дистрибутива и посмотрите только на или простоx (−4,−2,0,2,4) y (−3,−1,0,1,3) x y x y и вы увидите равномерное предельное распределение (симметричное), но возьмите разницу и результат не будет симметричным.x−y
источник
Вам нужно будет принять независимость между X и Y, чтобы это сохранялось в целом. Результат следует непосредственно, поскольку распределение является сверткой симметричных функций, которая также симметрична.X−Y
источник