Как оценить точность интеграла?

Чрезвычайно распространенная ситуация в компьютерной графике состоит в том, что цвет некоторого пикселя равен интегралу некоторой вещественной функции. Часто эта функция слишком сложна для аналитического решения, поэтому мы остаемся с числовым приближением. Но эта функция также часто очень дорога для вычисления, поэтому мы сильно ограничены в количестве сэмплов, которое мы можем вычислить. (Например, вы не можете просто решить взять один миллион образцов и оставить все как есть.)

В общем, то, что вы хотите сделать, это оценить функцию в случайно выбранных точках, пока оцененный интеграл не станет «достаточно точным». Что подводит меня к моему актуальному вопросу: как вы оцениваете «точность» интеграла?

В частности, у нас есть , который реализован с помощью некоторого сложного, медленного компьютерного алгоритма. Мы хотим оценить$f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

Мы можем вычислить для любого мы хотим, но это дорого. Поэтому мы хотим выбрать несколько значений случайным образом и остановиться, когда оценка для станет приемлемо точной. Для этого, конечно, нам нужно знать, насколько точна текущая оценка на самом деле.x x $f(x)$$x$$x$$k$

Я даже не уверен, какие статистические инструменты подойдут для такого рода проблем. Но мне кажется, что если мы абсолютно ничего не знаем о , то проблема неразрешима. Например, если вы вычисляете тысячу раз, а оно всегда равно нулю, ваш оценочный интеграл будет равен нулю. Но, ничего не зная о , все еще возможно, что везде, кроме точек, которые вы случайно выбрали, поэтому ваша оценка ужасно неверна!е ( х ) е е ( х ) = 1 , 000 , $f$$f(x)$$f$$f(x) = 1,000,000$

Возможно, тогда мой вопрос должен был начаться с того, «что нам нужно знать о чтобы можно было оценить точность нашего интеграла$f$ ?» Например, часто мы знаем , что это невозможно для , чтобы когда - либо быть отрицательным, что казалось бы, весьма актуальный факт ...$f$

Изменить: ОК, так что это, кажется, вызвало много ответов, и это хорошо. Вместо того, чтобы отвечать на каждый из них в отдельности, я попытаюсь заполнить некоторые дополнительные сведения здесь.

Когда я говорю, что мы ничего не знаем о , я имею в виду, что мы можем вычислить , но мы ничего больше не знаем об этом. Я ожидаю (и комментарии, кажется, согласны), что больше знаний позволяет нам использовать лучшие алгоритмы. Кажется, что знание границ для и / или первой производной от было бы полезно.ф ф $f$$f$$f$$f$

В большинстве проблем, о которых я думаю, изменяется в зависимости от геометрии сцены и расположения в рассматриваемой сцене. Это не какой-то хороший, аккуратный кусок алгебры, который вы можете аналитически решить. Обычно представляет интенсивность света. Очевидно, что интенсивность света не может быть отрицательной, но нет предела тому, насколько велики могут быть его положительные значения. И, наконец, края объекта обычно приводят к резким разрывам в , и обычно вы не можете предсказать, где они находятся.ф $f$$f$$f$

Короче говоря, чертовски трепетно, поэтому мой первый порт захода состоял в том, чтобы спросить, что мы можем с ним сделать, не давая никакой дополнительной информации. Похоже, что, по крайней мере, без каких-либо верхних и нижних границ ответ - «не чертовски много» ... Так что, похоже, мне нужно начать делать некоторые предположения, чтобы добиться какого-то прогресса здесь.$f$

Кроме того, учитывая количество раз, когда появился «Монте-Карло», я полагаю, что это технический термин для такого рода интеграции?

$^2$$^2$$^2$$^2$$^2$$^2$

$f$

Дополнительным чтением к этому, конечно, будет монография Niederreiter (1992) .