Ожидаемое значение логарифма нецентрального экспоненциального распределения

Предположим, что нецентрально экспоненциально распределен с местоположением и скоростью . Тогда что такое .$X$λ E ( log ( X ) $k$$\lambda$$E(\log(X))$

Я знаю, что для ответ где - постоянная Эйлера-Маскерони. А когда ?- log ( λ ) - γ γ k > $k=0$$-\log(\lambda) - \gamma$$\gamma$$k > 0$

Желаемый интеграл может быть приведен в подчинение путем грубых манипуляций; здесь мы вместо этого пытаемся дать альтернативный вывод с немного более вероятностным ароматом.

Пусть - нецентральная экспоненциальная случайная величина с параметром местоположения и параметром скорости . Тогда где .k > 0 λ X = Z + k Z ∼ E x p ( λ $X \sim \mathrm{Exp}(k,\lambda)$$k > 0$$\lambda$$X = Z + k$$Z \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$

Обратите внимание, что и т. Д., Используя стандартный факт для вычисления ожидания неотрицательных случайных величин , Но на поскольку и поэтому где последнее равенство следует из подстановкиE log ( X / k ) = ∫ ∞ 0 P ( log ( X / k ) > z $\log(X/k) \geq 0$P ( Z > k ( e z - 1 ) ) = exp ( - λ k ( e z - 1 ) ) z ≥ 0 Z ∼ E x p ( λ ) E log ( X / k ) = e λ k ∫ ∞ 0 exp ( - λ k e z

$$\newcommand{\e}{\mathbb E}\newcommand{\rd}{\mathrm d}\renewcommand{\Pr}{\mathbb P} \e \log(X/k) = \int_0^\infty \Pr(\log(X/k) > z)\,\rd z = \int_0^\infty \Pr(Z > k(e^z - 1)) \,\rd z \>.$$ $\Pr(Z > k(e^z -1)) = \exp(-\lambda k(e^z - 1))$$z \geq 0$$Z \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$ $$\e \log(X/k) = e^{\lambda k} \int_0^\infty \exp(-\lambda k e^z) \, \rd z = e^{\lambda k} \int_{\lambda k}^\infty t^{-1} e^{-t} \,\rd t \>,$$ $t = \lambda k e^z$, отмечая, что .$\rd z = \rd t / t$

Интеграл по правому размеру последнего отображения по определению равен просто , поэтому что подтверждается вычислениями @ Procrastinator's Mathematica в комментариях к вопросу.$\Gamma(0,\lambda k)$

$$\e \log X = e^{\lambda k} \Gamma(0,\lambda k) + \log k \>,$$

NB . Эквивалентное обозначение также часто используется вместо .$\mathrm E_1(x)$$\Gamma(0,x)$