Создание автокоррелированных случайных значений в R

Мы пытаемся создать автокоррелированные случайные значения, которые будут использоваться в качестве временных рядов. У нас нет существующих данных, на которые мы ссылаемся, и мы просто хотим создать вектор с нуля.

С одной стороны, нам нужен, конечно, случайный процесс с распределением и его SD.

С другой стороны, должна быть описана автокорреляция, влияющая на случайный процесс. Значения вектора автокоррелируют с уменьшением силы в течение нескольких временных задержек. например, lag1 имеет 0,5, lag2 0,3, lag1 0,1 и т. д.

Так что в итоге вектор должен выглядеть так: 2, 4, 7, 11, 10, 8, 5, 4, 2, -1, 2, 5, 9, 12, 13, 10, 8, 4, 3, 1, -2, -5

и так далее.

Я на самом деле часто сталкиваюсь с этой проблемой. Мои два любимых способа генерации временного ряда с автокорреляцией в R зависят от того, хочу я стационарный процесс или нет.

Для нестационарных временных рядов я использую броуновское движение. Например, для длины 1000 я делаю:

x <- diffinv(rnorm(999))

Для стационарного временного ряда я фильтрую гауссов шум. Например, это выглядит так:

x <- filter(rnorm(1000), filter=rep(1,3), circular=TRUE)

В этом случае автокорреляция при лаге равна 0, если τ > 2 . В других случаях мы должны вычислить корреляцию между суммами переменных. Например, для τ = 1 ковариация$\tau$$\tau > 2$$\tau = 1$

$$Cov(X_1;X_2) = Cov(Y_1+Y_2+Y_3; Y_2+Y_3+Y_4) = Var(Y_2) + Var(Y_3) = 2.$$

Итак, вы видите, что автоковариантность линейно уменьшается до где n - длина фильтра.$n$$n$

Вы также можете делать длинные временные ряды памяти (например, дробное броуновское движение), но это более сложный процесс. У меня есть R-реализация метода Дэвиса-Харта, которую я могу отправить вам, если хотите.

Если у вас есть заданная автоковариационная функция, то лучшая модель (с точки зрения управляемости), которую я могу придумать, - это многомерный гауссовский процесс, где, учитывая автоковариационную функцию при запаздывании τ , вы можете легко сформировать ковариационную матрицу,$R(\tau)$$\tau$

$$\Sigma=\left[ \begin{array}{cccc} R(0) & R(1) & ... & R(N) \\ R(1) & R(0) & ... & R(N-1) \\ \vdots & \ddots & ... & \vdots \\ R(N) & R(N-1) & ... & R(0) \end{array} \right]$$

Учитывая это ковариационная матрица, вы выборки данных из многомерного гауссовой с заданной ковариационной матрицей , т.е. образца вектор из распределения F ( → х ) = $\Sigma$ где → μ - средний вектор.

$$f(\vec{x})=\frac{1}{(2\pi)^{N/2}|\Sigma|^{1/2}}\text{exp}\left(-\frac{1}{2}(\vec{x}-\vec{\mu})^T\Sigma^{-1}(\vec{x}-\vec{\mu})\right)\text{,}$$ $\vec{\mu}$

$X(t)=a X(t-1) + e(t)$$e(0)$$X(0) = e(0)$$X(1)=a X(0) + e(1)$$e(i)$$X(i)$$e(i)$$e(i)$