Каково определение симметричного распределения?

Каково определение симметричного распределения? Кто-то сказал мне, что случайная величина пришла из симметричного распределения тогда и только тогда, когда и имеют одинаковое распределение. Но я думаю, что это определение отчасти верно. Потому что я могу представить контрпример и . Очевидно, что оно имеет симметричное распределение, но и имеют разное распределение! Я прав? Ребята, вы когда-нибудь задумывались над этим вопросом? Какое точное определение симметричного распределения? $X$ $X$ $-X$ $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$ $\mu\neq0$ $X$ $-X$

distributions definition symmetry пекин си
источник

Когда вы говорите «распределение симметрично», вы должны указать, относительно какой точки симметрично. В случае нормального распределения, которое вы представляете, симметрия задается вокруг . В этом случае и имеют одинаковое распределение. В терминах плотности это можно выразить как: симметричен относительно

если

. Кстати, это хороший способ принимать ответы, когда вы удовлетворены одним из них.

μ

$\mu$

X - μ

$X-\mu$

- (X - μ)

$-(X-\mu)$

f

$f$

μ

$\mu$

f (μ - x) = f (μ + x)

$f(\mu-x)=f(\mu+x)$

Да, мы, ребята, подумали об этом вопросе. Симметричный обычно означает симметричный относительно

0

$0$ , и, чтобы предотвратить дальнейшие контрпримеры, утверждение о симметричных распределениях не является чем-то верным в отношении кумулятивной функции распределения вероятностей . Ваш "контрпример" имеет симметрию относительно точки

μ \neq 0

$\mu \neq 0$ , а не относительно точки

0

$0$ .

Дилип Сарвэйт

@Dilip Когда определение зависит от одного способа описания чего-либо, но можно показать, что это определение является внутренним свойством этого чего-либо, тогда нет смысла применять определение к другой форме описания. В этом случае симметрия является свойством распределения , но это не означает, что все описания этого распределения (включая PDF и CDF) должны быть «симметричными» одинаковыми способами. Применяя симметрию PDF к CDF, ваш комментарий скорее сбивает с толку вопрос, чем разъясняет его.

whuber

shijing, @Procrastinator заметил, что вы задавали много вопросов, не принимая никаких ответов. Это говорит о том, что вы можете не знать, как работает этот сайт. Для того, чтобы устранить любые недоразумения, вы , пожалуйста , прочитайте соответствующую часть нашего FAQ всех путей через ? Это займет всего пару минут, и следование его указаниям повысит ценность нашего сайта для вас.

whuber

@whuber CDF - одно из немногих описаний, в которых распределение слов на самом деле происходит в имени, и я пытался уточнить, что свойство симметрии не имеет места для CDF.

Дилип Сарватэ,

Ответы:

Вкратце: симметричен, когда и имеют одинаковое распределение для некоторого действительного числа . $X$ $X$ $2a-X$ $a$ Но достижение этого вполне оправданным образом требует некоторого отступления и обобщения, потому что возникает много неявных вопросов: почему это определение «симметрично»? Могут ли быть другие виды симметрии? Какова связь между распределением и его симметриями, и, наоборот, какова связь между «симметрией» и теми распределениями, которые могут иметь эту симметрию?

Рассматриваемые симметрии являются отражением реальной линии. Все имеют форму

x \to 2 a - x

$x \to 2a-x$

для некоторой константы . $a$

Итак, предположим, что обладает этой симметрией хотя бы для одного . Тогда симметрия подразумевает $X$ $a$

Pr [X \geq a] = Pr [2 a - X \geq a] = Pr [X \leq a]

$\Pr[X \ge a] = \Pr[2a-X \ge a] = \Pr[X \le a]$

показывая , что является медианной из . Аналогично, если имеет ожидание, то сразу следует, что . Таким образом , мы , как правило , можно придавить легко. Даже если нет, (и, следовательно, сама симметрия) все еще определяется однозначно (если она вообще существует). $a$ $X$ $X$ $a = E[X]$ $a$ $a$

Чтобы увидеть это, пусть будет любым центром симметрии. Затем, применяя обе симметрии, мы видим, что инвариантно относительно перевода . Если , распределение должно иметь период , что невозможно, поскольку полная вероятность периодического распределения равна или бесконечна. Таким образом, , показывая, что уникально. $b$ $X$ $x \to x + 2(b-a)$ $b-a \ne 0$ $X$ $b-a$ $0$ $b-a=0$ $a$

В более общем смысле, когда является группой, действующей точно на действительной прямой (и, следовательно, на всех ее борелевских подмножествах), мы можем сказать, что распределение является «симметричным» (относительно ), когда $G$ $X$ $G$

Pr [X \in E] = Pr [X \in E^{g}]

$\Pr[X \in E] = \Pr[X \in E^g]$

для всех измеримых множеств и элементов , где обозначает образ под действием . $E$ $g \in G$ $E^g$ $E$ $g$

В качестве примера, пусть прежнему является группой порядка , но теперь пусть ее действие состоит в том, чтобы взять обратную величину действительного числа (и позволить ей исправить ). Стандартное логнормальное распределение симметрично относительно этой группы. Этот пример можно понимать как пример симметрии отражения, где имеет место нелинейное повторное выражение координат. Это предлагает сосредоточиться на преобразованиях, которые уважают «структуру» реальной линии. Структура, существенная для вероятности, должна быть связана с борелевскими множествами и мерой Лебега, которые могут быть определены в терминах (евклидова) расстояния между двумя точками. $G$ $2$ $0$

Карта, сохраняющая расстояние, по определению является изометрией. Хорошо известно (и легко, хотя и немного сложно, чтобы продемонстрировать), что все изометрии реальной линии генерируются отражениями. Следовательно, когда понимается, что «симметричный» означает симметричный относительно некоторой группы изометрий , группа должна генерироваться не более чем одним отражением, и мы видели, что отражение однозначно определяется любым симметричным распределением по отношению к нему. В этом смысле предыдущий анализ является исчерпывающим и оправдывает обычную терминологию «симметричных» распределений.

Между прочим, множество многовариантных примеров распределений, инвариантных относительно групп изометрий, дается при рассмотрении «сферических» распределений. Они инвариантны относительно всех вращений (относительно некоторого неподвижного центра). Они обобщают одномерный случай: «вращения» реальной линии - это просто отражения.

Наконец, стоит отметить, что стандартная конструкция - усреднение по группе - дает способ производить множество симметричных распределений. В случае действительной прямой пусть порождается отражением вокруг точки , так что оно состоит из единичного элемента и этого отражения . Пусть - любое распределение. Определите распределение , установив $G$ $a$ $e$ $g$ $X$ $Y$

{Pr}_{Y} [E] = \frac{1}{| G |} \sum_{g \in G} {Pr}_{X} [E^{g}] = ({Pr}_{X} [E] + {Pr}_{X} [E^{g}]) / 2

${\Pr}_Y[E] = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G} {\Pr}_X[E^g] = ({\Pr}_X[E] + {\Pr}_X[E^g])/2$

для всех борелевских . Это явно симметрично, и легко проверить, что оно остается распределением (все вероятности остаются неотрицательными, а полная вероятность равна ). $E$ $1$

Гамма

Иллюстрируя процесс усреднения групп, PDF симметризованного гамма-распределения (с центром при ) показан золотом. Оригинальная гамма синего цвета, а ее отражение - красного. $a=2$

Whuber
источник

(+1) Я хотел бы добавить, что в многомерном параметре определение симметрии не является уникальным. В этой книге есть 8 возможных определений симметричных многомерных распределений.

@Procrastinator Мне интересно, что вы можете сказать "не уникальным". AFAIK, все, что оправдывает название «симметрия», в конечном счете относится к групповому действию в пространстве. Было бы интересно посмотреть, какие статистические действия были полезны. Поскольку эта книга не печатается и не доступна в Интернете, не могли бы вы привести краткий пример двух действительно разных типов симметрии, рассматриваемых в этой книге?

uuber

Ваша интуиция верна, это связано со статистическими особенностями: Центральная симметрия ; Сферическая симметрия для всей ортогональной матрицы . Остальное я не могу вспомнить, но постараюсь позаимствовать книгу в эти дни. В этой ссылке вы можете найти некоторые из них.

X - μ \overset{d}{=} - (X - μ)

${\bf X}-\mu\stackrel{d}{=}-({\bf X}-\mu)$

X - μ \overset{d}{=} O (X - μ)

$X-\mu\stackrel{d}{=}{\bf O}({\bf X}-\mu)$

O

${\bf O}$

@Procrastinator Спасибо. Обратите внимание, что два примера, которые вы предлагаете, являются частными случаями общего определения, которое я предоставил: центральная симметрия генерирует двухэлементную группу изометрий, а сферические симметрии также являются подгруппой всех изометрий. «Эллиптическая симметрия» в звене представляет собой сферическую симметрию после аффинного преобразования и, таким образом, иллюстрирует явление, на которое я указывал в логнормальном примере. «Угловые симметрии» снова образуют группу изометрий. «Симметрия полупространства» [sic] не является симметрией, но допускает дискретные отклонения от нее: это ново.

whuber

Ответ будет зависеть от того, что вы подразумеваете под симметрией. В физике понятие симметрии является фундаментальным и стало очень общим. Симметрия - это любая операция, которая оставляет систему без изменений. В случае распределения вероятностей это может быть преобразовано в любую операцию которая возвращает такую же вероятность . $X \to X'$ $P(X) = P(X')$

В простом случае первого примера вы имеете в виду симметрию отражения относительно максимума. Если бы распределение было синусоидальным, то вы могли бы иметь условие $X \to X + \lambda$ $\lambda$ $P(X) = P(X + \lambda)$

Майкл Хоффман
источник