Разложение нормального распределения

Существует ли только положительное распределение, так что разность двух независимых выборок из этого распределения обычно распределена? Если так, имеет ли это простую форму?

distributions probability Мартин О'Лири
источник

Интересный вопрос! Нормальное распределение является бесконечно разложимым, то есть вы всегда можете записать его как распределение суммы

произвольного числа

случайных величин. Но это не вопрос.

x_{1} + \dots + x_{n}

$x_1+\ldots+x_n$

n

$n$

Сиань

Если вы дойдете до функции, генерирующей момент, вопрос в том, будет ли

позволяет найти решение (в

), которое является функцией, порождающей моменты положительной переменной ...

e^{t μ + \frac{1}{2} σ^{2} t^{2}} = φ (t) φ (- t)

$e^{t\mu + \frac{1}{2}\sigma^2t^2}=\varphi(t)\varphi(-t)$

φ

$\varphi$

Сиань

Вы правы, @Dilip: разница полунормалей не имеет нормального распределения. Проблема не в дисперсии разницы: сама форма распределения не является нормальной (ее эксцесс слишком велик).

whuber

Хотя это очевидно, стоит отметить, что это утверждение является приблизительно правильным. В конце концов, разница в

переменной и

переменной имеет

распределения и, выбирая

достаточно большим, мы можем сделать вероятность того, что любая из этих переменных будет отрицательной, так мала, как хотелось бы.

N (μ, σ^{2} / 2)

$N(\mu,\sigma^2/2)$

N (μ, σ^{2} / 2)

$N(\mu,\sigma^2/2)$

N (0, σ^{2})

$N(0,\sigma^2)$

μ

$\mu$

whuber

Ответы:

Ответ на вопрос - нет, и это следует из известной характеристики нормальных распределений.

Предположим, что и - независимые случайные величины. Тогда так же и независимых случайных величин, и, конечно, мы можем записать как , сумма двух независимых случайных величин. Теперь, согласно теореме, предположенной П. Леви и доказанной Г. Крамером (см. Феллер, глава XV.8, теорема 1), $X$ $Y$ $X$ $-Y$ $X-Y$ $X + (-Y)$

Если и являются независимыми случайными величинами, а нормально распределен, то и и нормально распределены. $X$ $Y$ $X+Y$ $X$ $Y$

$X$ $Y$ $X-Y$ $X-Y = X + (-Y)$ $X$ $-Y$

Дилип Сарватэ
источник

Я немного надеялся, что ответ будет положительным, но спасибо! У меня нет свободного доступа к копии Феллера - можно ли набросать доказательство теоремы? Это кажется довольно нелогичным.

Мартин О'Лири

Даже Феллер не включает в себя оригинальное доказательство, утверждающее, что оно основано на теории аналитических функций и, таким образом, весьма отличается от его подхода к характеристическим функциям.

Дилип Сарвейт

Я думал, что это так, но это открывает дверь для зависимых переменных. Я пытался найти способ построить зависимость между 2 положительными половинными нормами, но не смог заставить ее работать.

Майкл Р. Черник

ну, может быть, кто-то должен был бы меня больше интересовать, пытаясь решить эту проблему

Майкл Р. Черник

Я задам этот вопрос, и тогда вы сможете изложить свой ответ. Я не совсем понимаю, как выглядит эта плотность суставов, а вы принимаете Z = | X | - | Y |?

Майкл Р. Черник