Я задавал этот вопрос раньше другим способом на других биржах стека, так что извините за некоторый репост.
Я спрашивал своего профессора и пару аспирантов без какого-либо однозначного ответа. Сначала я сообщу о проблеме, затем о моем потенциальном решении и о проблеме с моим решением, извините за стену текста.
Проблема:
Предположим, что два независимых пуассоновских процесса и с и для одного и того же интервала подчинены . Какова вероятность того, что в любой момент времени, когда время стремится к бесконечности, совокупный выход процесса больше совокупного выхода процесса плюс , то есть . Для иллюстрации на примере предположим, что два моста и , в среднем автомобили и едут по мосту исоответственно за интервал и . автомобили уже изгнали над мостом , какова вероятность того, что в любой момент времени больше автомобилей в общей сложности проехали через мост , чем .
Мой способ решения этой проблемы:
Сначала мы определим два пуассоновских процесса:
Следующим шагом будет найти функцию , которая описывает , после того, как заданное число интервалов . Это произойдет в случае, если условно на выходе , для всех неотрицательных значений . В качестве иллюстрации, если суммарная выход является , то суммарный выход должен быть больше , чем . Как показано ниже.I M ( I ) > k + D R ( I ) = k k R X M X + D
Из-за независимости это можно переписать как произведение двух элементов, где первый элемент - 1-CDF распределения Пуассона, а второй элемент - пуассоновский pmf:
Для создания примера предположим, что , и , ниже приведен график этой функции над :λ R = 0,6 λ M = 0,4 I
Следующий шаг , чтобы найти вероятность , что это произойдет в любой момент времени, позволяет вызов, . Моя мысль в том , что это эквивалентно нахождению 1 минус вероятность никогда не быть выше . Т.е. пусть к бесконечности , что является обусловливающим это также быть верно для всех предыдущих значений .M R + D N P ( R ( N ) + D ≥ M ( N ) ) N
1 - P ( M ( I ) > R ( I ) + D ) совпадает с , давайте определим это как функцию g (I):
Поскольку стремится к бесконечности, это также может быть переписано как геометрический интеграл по функции .
Где у нас есть функция сверху.
Теперь для меня это должно дать мне окончательное значение для любых данных , и . Однако есть проблема, мы должны быть в состоянии переписать лямбды так, как хотим, так как единственное, что должно иметь значение, это их пропорция друг к другу. Чтобы построить на примере с , и , это фактически то же самое, что , и , если их интервал делится на 10. Т.е. 10 машин каждые 10 минут - это то же самое, что 1 машина каждую минуту. Однако выполнение этого дает другой результат. , и дает из и , и дает из . Непосредственное понимание состоит в том, что , и причина на самом деле довольно проста, если мы сравним графики двух результатов, график ниже показывает функцию для , и .
Как можно видеть, вероятность не меняется, однако теперь для достижения той же вероятности требуется в десять раз больше интервалов. Поскольку зависит от интервала функции, это, естественно, имеет значение. Это, очевидно, означает, что что-то не так, так как результат не должен зависеть от моей начальной лямбды, особенно потому, что не существует начальной лямбды, которая является правильной а является правильным как и или и т. Д., Пока интервал масштабируется соответственно. Поэтому пока я легко масштабирую вероятность, т.е. иду от и до и - это то же самое, что масштабирование вероятности с коэффициентом 10. Это, очевидно, дает тот же результат, но, поскольку все эти лямбды являются одинаково допустимыми отправными точками, то это, очевидно, не правильно.
Чтобы продемонстрировать это влияние, я изобразил как функцию от , где - это коэффициент масштабирования лямбд, с начальными и . Вывод можно увидеть на графике ниже:
Вот где я застрял, для меня подход выглядит хорошо и правильно, но результат явно неправильный. Сначала я думал, что где-то пропущен фундаментальный пересчет, но я не могу понять, где.
Спасибо за чтение, любая помощь очень ценится.
Кроме того, если кто-то хочет мой R-код, пожалуйста, дайте мне знать, и я его загрузю.
источник
Ответы:
Пусть коллективные времена процессов Поскольку это независимые пуассоновские процессы, почти наверняка точно один из них наблюдается в каждый из этих моментов времени. Для определитеT=(0=t0<t1<t2<⋯). i>0,
и накапливаем в процессе то есть и для всех считает во сколько раз появилось больше, чем сразу после времениB(i) W: W(0)=0 W(i+1)=W(i)+B(i) i>0. W(i) R M ti.
На этом рисунке показаны реализации (красным цветом) и (средним синим цветом) в виде «графиков ковров» вверху. Точки значения . Каждая красная точка представляет увеличение избытка то время как каждая синяя точка показывает уменьшение избытка.R M (ti,W(i)) R(ti)−M(ti)
Для пусть будет шансом, что хотя бы один из меньше или равен и пусть будет его вероятностью.b=0,1,2,…, Eb Wi −b f(b)
Пусть Это скорость комбинированных процессов. биноминальное случайное блуждание, потому чтоλ=λR+λM. W
Таким образом,
Самый элементарный способ найти этот шанс заключается в том, что
потому чтои для всех два возможных следующих шага рекурсивно даютW(0)=0; b>0, ±1
Предполагая , что единственное решение для являетсяλR≥λM, b≥0
как вы можете проверить, включив это в вышеупомянутые определяющие уравнения. Таким образом,
источник