Вероятность независимого пуассоновского процесса, обгоняющего другого

9

Я задавал этот вопрос раньше другим способом на других биржах стека, так что извините за некоторый репост.

Я спрашивал своего профессора и пару аспирантов без какого-либо однозначного ответа. Сначала я сообщу о проблеме, затем о моем потенциальном решении и о проблеме с моим решением, извините за стену текста.

Проблема:

Предположим, что два независимых пуассоновских процесса и с и для одного и того же интервала подчинены . Какова вероятность того, что в любой момент времени, когда время стремится к бесконечности, совокупный выход процесса больше совокупного выхода процесса плюс , то есть . Для иллюстрации на примере предположим, что два моста и , в среднем автомобили и едут по мосту иMRλRλMλR>λMMRDP(M>R+D)RMλRλMRMсоответственно за интервал и . автомобили уже изгнали над мостом , какова вероятность того, что в любой момент времени больше автомобилей в общей сложности проехали через мост , чем .λR>λMDRMR

Мой способ решения этой проблемы:

Сначала мы определим два пуассоновских процесса:

M(I)Poisson(μMI)R(I)Poisson(μRI)

Следующим шагом будет найти функцию , которая описывает , после того, как заданное число интервалов . Это произойдет в случае, если условно на выходе , для всех неотрицательных значений . В качестве иллюстрации, если суммарная выход является , то суммарный выход должен быть больше , чем . Как показано ниже.I M ( I ) > k + D R ( I ) = k k R X M X + DP(M>R+D)IM(I)>k+DR(I)=kkRXMX+D

P(M(I))>R(I)+D)=k=0n[P(M(I)>k+DR(I)=k)]

n

Из-за независимости это можно переписать как произведение двух элементов, где первый элемент - 1-CDF распределения Пуассона, а второй элемент - пуассоновский pmf:

P(M(I)>R(I)+D)=k=0n[P(M(I)>k+D)1Poisson CDFP(R(I)=k)Poisson pmf]

n

Для создания примера предположим, что , и , ниже приведен график этой функции над :λ R = 0,6 λ M = 0,4 ID=6λR=0.6λM=0.4I

введите описание изображения здесь

Следующий шаг , чтобы найти вероятность , что это произойдет в любой момент времени, позволяет вызов, . Моя мысль в том , что это эквивалентно нахождению 1 минус вероятность никогда не быть выше . Т.е. пусть к бесконечности , что является обусловливающим это также быть верно для всех предыдущих значений .M R + D N P ( R ( N ) + D M ( N ) ) NQMR+DNP(R(N)+DM(N))N

1 - P ( M ( I ) > R ( I ) + D )P(R(I)+DM(I)) совпадает с , давайте определим это как функцию g (I):1P(M(I)>R(I)+D)

g(I)=1P(M(I)>R(I)+D)

Поскольку стремится к бесконечности, это также может быть переписано как геометрический интеграл по функции .Ng(I)

Q=1exp(0Nln(g(I))dI)

Q=1exp(0Nln(1P(M(I)>R(I)+D))dI)

N

Где у нас есть функция сверху.P(M(I)>R(I)+D)

Q=1exp(0Nln(1k=0n[P(M(I)>k+D)1Poisson CDFP(R(I)=k)Poisson pmf])dI)

N

n

Теперь для меня это должно дать мне окончательное значение для любых данных , и . Однако есть проблема, мы должны быть в состоянии переписать лямбды так, как хотим, так как единственное, что должно иметь значение, это их пропорция друг к другу. Чтобы построить на примере с , и , это фактически то же самое, что , и , если их интервал делится на 10. Т.е. 10 машин каждые 10 минут - это то же самое, что 1 машина каждую минуту. Однако выполнение этого дает другой результат. ,QDλRλMD=6λR=0.6λM=0.4D=6λR=0.06λM=0.04D=6λR=0.6 и дает из и , и дает из . Непосредственное понимание состоит в том, что , и причина на самом деле довольно проста, если мы сравним графики двух результатов, график ниже показывает функцию для , и .λM=0.4Q0.5856116D=6λR=0.06λM=0.04Q0.99985071(10.5856116)10=0.9998507D=6λR=0.06λM=0.04

введите описание изображения здесь

Как можно видеть, вероятность не меняется, однако теперь для достижения той же вероятности требуется в десять раз больше интервалов. Поскольку зависит от интервала функции, это, естественно, имеет значение. Это, очевидно, означает, что что-то не так, так как результат не должен зависеть от моей начальной лямбды, особенно потому, что не существует начальной лямбды, которая является правильной а является правильным как и или и т. Д., Пока интервал масштабируется соответственно. Поэтому пока я легко масштабирую вероятность, т.е. иду от и до иQ0.040.060.40.611.50.40.60.040.06 - это то же самое, что масштабирование вероятности с коэффициентом 10. Это, очевидно, дает тот же результат, но, поскольку все эти лямбды являются одинаково допустимыми отправными точками, то это, очевидно, не правильно.

Чтобы продемонстрировать это влияние, я изобразил как функцию от , где - это коэффициент масштабирования лямбд, с начальными и . Вывод можно увидеть на графике ниже:QttλM=0.4λR=λM1.5

введите описание изображения здесь

Вот где я застрял, для меня подход выглядит хорошо и правильно, но результат явно неправильный. Сначала я думал, что где-то пропущен фундаментальный пересчет, но я не могу понять, где.

Спасибо за чтение, любая помощь очень ценится.

Кроме того, если кто-то хочет мой R-код, пожалуйста, дайте мне знать, и я его загрузю.

нет неин
источник
Я сделал довольно обширную очистку вашего кода MathJax. Если вы посмотрите, вы увидите несколько вещей о стандартном и правильном использовании. (Больше работы может быть сделано; возможно, позже.)
Майкл Харди
Потрясающие! Большое спасибо, я не знал об этом, есть ли конкретное руководство, которому я должен следовать?
нет nein
Я отредактировал некоторые дополнительные вещи в соответствии с тем, что вы сделали.
нет nein
@nonein Небольшая помощь в редактировании, но помимо этого есть базовый учебник и краткий справочник по MathJax по математике . Руководства по написанию математики на LaTeX (которые легко найти в Google) часто помогают, если вы пытаетесь найти что-то, что не отражено в кратком справочнике (хотя в настоящее время в нем достаточно подробно рассматривается подмножество MathJax).
Glen_b

Ответы:

3

Пусть коллективные времена процессов Поскольку это независимые пуассоновские процессы, почти наверняка точно один из них наблюдается в каждый из этих моментов времени. Для определитеT=(0=t0<t1<t2<).i>0,

B(i)={+1if R(ti)=11if M(ti)=1

и накапливаем в процессе то есть и для всех считает во сколько раз появилось больше, чем сразу после времениB(i)W:W(0)=0W(i+1)=W(i)+B(i)i>0. W(i)RMti.

Рисунок: симуляция

На этом рисунке показаны реализации (красным цветом) и (средним синим цветом) в виде «графиков ковров» вверху. Точки значения . Каждая красная точка представляет увеличение избытка то время как каждая синяя точка показывает уменьшение избытка.RM(ti,W(i))R(ti)M(ti)

Для пусть будет шансом, что хотя бы один из меньше или равен и пусть будет его вероятностью.b=0,1,2,,EbWibf(b)

Вопрос требуетf(D+1).

Пусть Это скорость комбинированных процессов. биноминальное случайное блуждание, потому чтоλ=λR+λM.W

Pr(B(i)=1)=λRλ and Pr(B(i)=1)=λMλ.

Таким образом,

Ответ равен вероятности того, что это биномиальное случайное блуждание встретит поглощающий барьер вWD1.

Самый элементарный способ найти этот шанс заключается в том, что

f(0)=1

потому чтои для всех два возможных следующих шага рекурсивно даютW(0)=0;b>0,±1

f(b)=λRλf(b+1)+λMλf(b1).

Предполагая , что единственное решение для являетсяλRλM,b0

f(b)=(λMλR)b,

как вы можете проверить, включив это в вышеупомянутые определяющие уравнения. Таким образом,

Ответ

Pr(ED+1)=f(D+1)=(λMλR)D+1.

Whuber
источник