Заполнение матрицы корреляции 3x3: два коэффициента из трех данных

Мне задали этот вопрос в интервью.

Допустим, у нас есть корреляционная матрица вида

Меня попросили найти значение гаммы, учитывая эту матрицу корреляции.
Я думал, что мог бы что-то сделать с собственными значениями, поскольку все они должны быть больше или равны 0. (Матрица должна быть положительной полуопределенной) - но я не думаю, что этот подход даст ответ. Мне не хватает трюка.

Не могли бы вы дать подсказку, чтобы решить для того же?

Мы уже знаем, что ограничена между [ - 1 , 1 ] . Матрица корреляции должна быть положительной полуопределенной, и, следовательно, ее главные миноры должны быть неотрицательными$\gamma$$[-1,1]$

Таким образом,

Вот более простое (и, возможно, более интуитивное) решение:

Думайте о ковариации как о внутреннем произведении абстрактного векторного пространства . Затем записи в корреляционной матрицы для векторов v 1 , v 2 , v 3 , где угловые скобки ⟨ v я , v J ⟩ обозначает угол между V я и об J .$\cos\langle\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_j\rangle$$\mathbf{v}_1$$\mathbf{v}_2$$\mathbf{v}_3$$\langle\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_j\rangle$$\mathbf{v}_i$$\mathbf{v}_j$

Не трудно представить , что ограничена | ⟨ V 1 , v 2 ⟩ & plusmn ; ⟨ v 1 , v 3 ⟩ | , Граница его косинуса ( γ ), таким образом , потому [ ⟨ об 1 , v 2 ⟩ & plusmn ; ⟨ v 1 , v 3 ⟩ ] . Основная тригонометрия тогда дает γ ∈ [ 0.6 $\langle\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\rangle$$|\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\rangle\pm\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_3\rangle|$$\gamma$$\cos\left[\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\rangle\pm\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_3\rangle\right]$ .$\gamma\in[0.6\times 0.8 - 0.6\times 0.8, 0.6\times 0.8 + 0.6\times 0.8] = [0, 0.96]$

Изменить: Обратите внимание , что в последней строке действительно соз ⟨ v 1 , v 2 ⟩ соз ⟨ v 1 , v 3 ⟩ ∓ грех ⟨ v 1 , v 3 ⟩ грех ⟨ v 1 , v 2 ⟩ - второе появление 0,6 и 0,8 происходит по совпадению благодаря 0,6 2 + 0,8 2 = $0.6\times 0.8 \mp 0.6\times 0.8$$\cos\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\rangle\cos\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_3\rangle\mp \sin\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_3\rangle\sin\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\rangle$$0.6^2+0.8^2=1$,

Here is what I meant in my initial comment to the answer and what I perceive @yangle may be speaking about (although I didn't follow/check their computation).

«Матрица должна быть положительной полуопределенной» означает, что переменные векторы представляют собой сгусток в евклидовом пространстве. Случай с корреляционной матрицей проще, чем с ковариационной матрицей, поскольку три длины вектора фиксированы и равны 1. Представьте себе 3 единичных вектора XYZ и помните, что является косинусом угла . Итак, cos α = r x y = 0,6 и cos β = r y z = 0,8 . Каковы могут быть границы для cos γ = r x $r$$\cos \alpha=r_{xy}=0.6$$\cos \beta=r_{yz}=0.8$$\cos \gamma=r_{xz}$? That correlation can take on any value defined by Z circumscribing about Y (keeping angle $r_{yz}=0.8$ with it):

As it spins, two positions are remarkable as ultimate wrt X, both are when Z falls into the plane XY. One is between X and Y, and the other is on the opposite side of Y. These are shown by blue and red vectors. At both these positions exactly the configuration XYZ (correlation matrix) is singular. And these are the minimal and maximal angle (hence correlation) Z can attain wrt X.

Picking the trigonometric formula to compute sum or difference of angles on a plane, we have:

$\cos \gamma = r_{xy} r_{yz} \mp \sqrt{(1-r_{xy}^2)(1-r_{yz}^2)} = [0,0.96]$ as the bounds.

This geometric view is just another (and a specific and simpler in 3D case) look on what @rightskewed expressed in algebraic terms (minors etc.).

Playing around with principal minors may be fine on 3 by 3 or maybe 4 by 4 problems, but runs out of gas and numerical stability in higher dimensions.

Для одной проблемы «свободного» параметра, такой как эта, легко видеть, что набор всех значений, составляющих матрицу psd, будет одним интервалом. Поэтому достаточно найти минимальные и максимальные такие значения. Это может быть легко достигнуто путем численного решения пары задач линейного полуопределенного программирования (SDP):

1. свести к минимуму γ с учетом матрицы PSD.
2. максимизировать γ с учетом матрицы PSD.

Например, эти проблемы могут быть сформулированы и численно решены с использованием YALMIP под MATLAB.

1. гамма = сдпвар; A = [1, 6, 8; .6 1 гамма; .8 гамма 1]; оптимизировать (A> = 0, гамма)
2. оптимизировать (A> = 0, -гамма)

Быстро, просто и надежно.

BTW, if the smarty pants interviewer asking the question doesn't know that SemiDefinite Programming, which is well-developed and has sophisticated and easy to use numerical optimizers for reliably solving practical problems, can be used to solve this problem, and many much more difficult variants, tell him/her that this is no longer 1870, and it's time to take advantage of modern computational developments.

Let us consider the following convex set

which is a spectrahedron named $3$-dimensional elliptope. Here's a depiction of this elliptope

Intersecting this elliptope with the planes defined by $x=0.6$ and by $y=0.8$, we obtain a line segment whose endpoints are colored in yellow

The boundary of the elliptope is a cubic surface defined by

If $x=0.6$ and $y=0.8$, then the cubic equation above boils down to the quadratic equation

Таким образом, пересечение эллиптопа с двумя плоскостями является отрезком прямой, параметризованным

Каждая положительная полуопределенная матрица является матрицей корреляции / ковариации (и наоборот).

Чтобы увидеть это, начните с положительной полуопределенной матрицы $A$ и принять его собственное разложение (которое существует по спектральной теореме, так как $A$ симметрично) $A=UDU^T$ где $U$ является матрицей ортонормированных собственных векторов и $D$ is a diagonal matrix with eigen values on the diagonal. Then, let $B= U D^{1/2} U^T$ where $D^{1/2}$ is a diagonal matrix with the square root of eignevalues on the diagonal.

Then, take a vector with i.i.d. mean zero and variance 1 entries, $\mathbf{x}$ and note that $B \mathbf{x}$ also has mean zero, and covariance (and correlation) matrix $A$.

Now, to see every correlation/covariance matrix is positive semi-definite is simple: Let $R=E[\mathbf{x}\mathbf{x}^T]$ be a correlation matrix. Then, $R = R^T$ is easy to see, and $\mathbf{a}^T R \mathbf{a} = E[(\mathbf{a}^T \mathbf{x})^2] \geq 0$ so the Rayleigh quotient is non-negative for any non-zero $\mathbf{a}$ so $R$ is positive semi-definite.

Now, noting that a symmetric matrix is positive semi-definite if and only if its eigenvalues are non-negative, we see that your original approach would work: calculate the characteristic polynomial, look at its roots to see if they are non-negative. Note that testing for positive definiteness is easy with Sylvester's Criterion (as mentioned in another answer's comment; a matrix is positive definite if and only if the principal minors all have positive determinant); there are extensions for semidefinite (all minors have non-negative determinant), but you have to check $2^n$ minors in this case, versus just $n$ for positive definite.