Предположим, что - непрерывные случайные величины с конечными вторыми моментами. Популяционная версия рангового коэффициента корреляции Спирмена ρ_s может быть определена как коэффициент произведения-момента Пирсона ρ для интегралов вероятности F_X (X) и F_Y (Y) , где F_X, F_Y - это cdf для X и Y , т.е.F X (X) F Y (Y) F X , F Y XY
.
Интересно, можно ли вообще сделать вывод, что
?
Т.е. имеем ли мы линейную корреляцию тогда и только тогда, когда имеем линейную корреляцию между рангами?
Обновление: в комментариях приведены два примера, почему
в общем случае неверно, даже если и имеют одинаковое распределение. Таким образом, вопрос должен быть переформулирован как
?
Мне также очень интересно, является ли это истинным / ложным, если и имеют одинаковое распределение.
(Примечание: если и положительно зависят от квадранта, т. то ковариационная формула что и )
источник
Ответы:
Нулевая корреляция не обязательно говорит вам многое о другой, так как они «взвешивают» данные - особенно экстремальные - совершенно по-разному. Я просто собираюсь поиграть с образцами, но похожие примеры можно построить с помощью двумерных распределений / связок.
1. Корреляция Спирмена 0 не подразумевает корреляцию Пирсона 0 :
Как уже упоминалось в вопросе, в комментариях есть примеры, но основная структура такова: «построить случай, когда корреляция Спирмена равна 0, затем взять крайнюю точку и сделать ее более экстремальной, не изменяя корреляцию Спирмена»
Примеры в комментариях это очень хорошо освещают, но я просто собираюсь поиграть с более «случайным» примером здесь. Итак, рассмотрим эти данные (в R), которые по построению имеют корреляцию Спирмена и Пирсона 0:
Теперь добавьте 1000 к y [12] и вычтите 0,6 из x [9]; корреляция Спирмена не изменилась, но корреляция Пирсона теперь составляет 0,1841:
(Если вы хотите сильно повлиять на эту корреляцию Пирсона, просто скопируйте всю выборку несколько раз.)
2. Корреляция Пирсона 0 не подразумевает корреляцию Спирмена 0 :
Вот два примера с нулевой корреляцией Пирсона, но с ненулевой корреляцией Спирмена (и снова, если вы хотите иметь сильное значение для этих корреляций Спирмена, просто скопируйте всю выборку несколько раз).
Пример 1:
Пример 2:
В этом последнем примере корреляция Спирмена может быть усилена путем добавления большего количества точек на y = x, в то же время делая две точки в верхнем левом и нижнем правом углу более экстремальными, чтобы поддерживать корреляцию Пирсона на 0.
источник