Всегда ли две стандартные нормальные случайные величины независимы?

Я узнал, что стандартное нормальное распределение уникально, потому что среднее значение и дисперсия зафиксированы на 0 и 1 соответственно. В связи с этим мне интересно, должны ли какие-либо две стандартные случайные величины быть независимыми.

Ответ - нет. Например, если является стандартной случайной величиной, то Y = - X следует той же статистике, но X и Y явно зависят.$X$$Y=-X$$X$$Y$

Нет, нет оснований полагать, что любые два стандартных гауссиана независимы.

Вот простая математическая конструкция. Предположим, что и Y - две независимые стандартные нормальные переменные. Тогда пара$X$$Y$

две зависимые стандартные нормальные переменные. Таким образом, пока они являются двумя независимыми нормальными переменными, должно быть две зависимые .

$\sqrt{2}$$1$

$X$$X = x$

Вот довольно широкий ответ:

$X,Y$$a,b$$a X + bY$$X$$Y$$E[(X-E[X])(Y-E[Y])]=0$

$\Sigma=\begin{bmatrix} 1 & p \\ p & 1 \end{bmatrix}$$(\lambda-1)^2 - p^2$ has positive roots in $\lambda$. Then, apply the Cholesky decompositon to $\Sigma= R R^T$. Then, take two independent standard normal random variables $U,V$ and then the vector $R \begin{bmatrix} U \\ V \end{bmatrix}$ has standard normal components, but the components are independent if and only if $p=0$.

A non-bivariate normal example (as Michael Chernick suggests in the comments):

Let $f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{\pi} e^{-\frac{x^2+y^2}{2}} & xy\geq 0 \\ 0 & o.w. \end{cases}$.

This is not a bivariate normal distribution, but a simple integral shows that both marginals are standard normal. They're obviously not independent since $f_{X,Y}(x,y) \neq f_X(x) f_Y(y)$.