Почему OLS-оценка коэффициента AR (1) смещена?

11

Я пытаюсь понять, почему OLS дает необъективную оценку процесса AR (1). Рассмотрим В этой модели строгая экзогенность нарушается, т. е. и коррелируют, а и не коррелированы. Но если это правда, то почему следующий простой вывод не выполняется? утεтут-1εтPlim β

yt=α+βyt1+ϵt,ϵtiidN(0,1).
ytϵtyt1ϵT
plim β^=Cov(yt,yt1)Var(yt1)=Cov(α+βyt1+ϵt,yt1)Var(yt1)=β+Cov(ϵt,yt1)Var(yt1)=β.
Флорестан
источник
На Cross Validated было несколько связанных вопросов. Вы могли бы извлечь выгоду из поиска их.
Ричард Харди
Я видел их, но они не очень помогли мне. Я нашел доказательства и симуляции, которые показывают этот результат. Меня интересует, что не так с моими рассуждениями выше.
Флорестан
1
Когда вы используете Plim , разве вы не обращаетесь к последовательности, а не к предвзятости? Для (не) предвзятости вы должны использовать ожидания.
Ричард Харди
Вы совершенно правы, что можете решить головоломку. Таким образом, если вышеприведенное уравнение не выполняется без плима, то оно не будет противоречить предвзятости OLS в небольших выборках и показывать согласованность OLS одновременно. Хотя я немного не уверен: действительно ли эта ковариация над формулой дисперсии действительно только для плима, а не для ожидания? Большое спасибо уже!
Флорестан
1
Сам по себе оценщик OLS не содержит каких-либо , вы должны просто посмотреть на ожидания в конечных выборках. Plim
Ричард Харди

Ответы:

10

Как по существу обсуждается в комментариях, беспристрастность является конечным свойством выборки, и если бы оно имело место, оно было бы выражено как

Е(β^)знак равноβ

(где ожидаемое значение является первым моментом распределения конечной выборки)

в то время как согласованность является асимптотическим свойством, выраженным как

Plimβ^знак равноβ

OP показывает, что, хотя OLS в этом контексте является предвзятой, она все еще непротиворечива.

Е(β^)βноPlimβ^знак равноβ

Здесь нет противоречий.

Алекос Пападопулос
источник
6

@Alecos прекрасно объясняет, почему правильное правило и непредвзятость не одно и то же. Что касается основной причины, по которой оценка не является беспристрастной, напомним, что беспристрастность оценки требует, чтобы все члены ошибки были средними и независимыми от всех значений регрессора, .Е(ε|Икс)знак равно0

В данном случае матрица регрессора состоит из значений , так что - см. Комментарий mpiktas - условие переводится в E ( ϵ s | y 1 , , y T - 1 ) = 0 для всех х = 2 , ... , T .Y1,...,YT-1Е(εs|Y1,...,YT-1)знак равно0sзнак равно2,...,T

Здесь мы имеем

даже в предположении Е ( ε т у т - 1 ) = 0 мы имеемчто Е ( ε т у т ) = Е ( ε т ( β у т - 1 + ε т ) ) = E ( ε 2 т ) 0. Но,

YTзнак равноβYT-1+εT,
Е(εTYT-1)знак равно0
Е(εTYT)знак равноЕ(εT(βYT-1+εT))знак равноЕ(εT2)0.
также является регрессором для будущих значений в модели AR, так как y t + 1 = β y t + ϵ t + 1 .YTYT+1знак равноβYT+εT+1
Кристоф Ханк
источник
3
Я хотел бы добавить разъяснение , что в этом случае приводит к Е ( & epsi ; s | у 1 , . . . , У Т ) для каждого х . Тогда дальнейшее обсуждение станет немного понятнее. Е(ε|Икс)Е(εs|Y1,,,,,YT)s
mpiktas
хороший момент, я сделал правку
Кристоф Ханк
3

Расширяя два хороших ответа. Запишите оценку OLS:

β^знак равноβ+ΣTзнак равно2TYT-1εTΣTзнак равно2TYT-12

Для непредвзятости нам нужно

Е[ΣTзнак равно2TYT-1εTΣTзнак равно2TYT-12]знак равно0.

Е(εT|Y1,,,,,YT-1)знак равно0,TεTYT,YT+1,,,,,YT

mpiktas
источник
Просто чтобы проверить, правильно ли я понял: проблема не в числителе, для каждого т YT-1 а также εTнекоррелированы. Проблема в знаменателе, который имеет более высокие значения t, так что существует корреляция между числителем и знаменателем, так что я не могу взять ожидание в пределах суммы числителя (при строгой экзогенности я мог бы сделать это ?!). Это правильная математическая интуиция?
Флорестан
Да, это правильная интуиция. Обратите внимание, что строгая экзогенность в этом случае невозможна, но для объективности строгая экзогенность становится требованием.
mpiktas