Каковы свойства распределения полу Коши?

24

В настоящее время я работаю над проблемой, в которой мне нужно разработать алгоритм Монте-Карло с цепью Маркова (MCMC) для модели пространства состояний.

Чтобы решить проблему, мне была дана следующая вероятность : p ( τ ) = 2I ( τ > 0) / (1+ τ 2 ). τ - стандартное отклонениеττττ2τ .Икс

Итак, теперь я знаю, что это распределение с половиной Коши, потому что я узнал его из примеров и потому, что мне так сказали. Но я не до конца понимаю, почему это дистрибутив "Half-Коши" и какие свойства идут с ним.

С точки зрения свойств я не уверен, что я хочу. Я довольно новичок в этом типе теории эконометрики. Поэтому мне важнее понять распределение и то, как мы используем его в контексте модели пространства состояний. Сама модель выглядит так:

YTзнак равноИксT+еTИксT+1знак равноИксT+aT+1aT+1~ N(0,τ2)п(σ2)α1/σ2п(τ)знак равно2я(τ>0)π(1+τ2)

Изменить: я включил в р ( τ ). Спасибо за указание на это.πτ

Christoph
источник
3
Пожалуйста, укажите, какие свойства вас интересуют: в конце концов, их можно описать бесконечно многими.
whuber
3
Икс0

Ответы:

35

Полу-Коши - это одна из симметричных половин распределения Коши (если не указано, это правая половина, которая предназначена):

График плотности Коши и полу Коши

121π как отмечено в комментариях).

Полу-Коши имеет много свойств; некоторые полезные свойства, которые мы могли бы хотеть в предыдущем.

Распространенным выбором для априорного параметра масштаба является обратная гамма (не в последнюю очередь, потому что она сопряжена для некоторых знакомых случаев). Когда желателен малоинформативный априор, используются очень малые значения параметров.

Полу Коши довольно тяжелый хвост, и в некоторых ситуациях его тоже можно считать довольно слабоинформативным. Гельман (например, [1]) выступает за половину априорных значений (включая половину Коши) по сравнению с обратной гаммой, потому что они лучше работают при малых значениях параметров, но расценивают его как информативную при малом значении при использовании параметра большого масштаба *. Гельман больше внимания уделял полу-Коши в последние годы. В работе Полсона и Скотта [2] приведены дополнительные причины, в частности, для выбора полу-Коши.

* Ваш пост показывает стандартную половину Коши. Гельман, вероятно, не выбрал бы это заранее. Если у вас нет никакого смысла во всей шкале, то это означает, что шкала с большей вероятностью будет выше 1, чем ниже 1 (что может быть тем, что вы хотите), но она не будет соответствовать некоторым вещам, которые спорит Гельман. для.

[1] А. Гельман (2006),
"Априорные распределения для параметров дисперсии в иерархических моделях"
Байесовский анализ , Vol. 1, № 3, с. 515–533
http://www.stat.columbia.edu/~gelman/research/published/taumain.pdf

[2] Н.Г. Полсон, Дж. Скотт (2012),
«О полукоши-приоре для параметра глобального масштаба»
Байесовский анализ , вып. 7, № 4, с. 887-902
https://projecteuclid.org/euclid.ba/1354024466

Glen_b - Восстановить Монику
источник
1
1/π
@Glen_b, какое место в полу-Коши в твоем ответе?
rnorouzian
@morouzian, какая мера местоположения вас интересует? Рассматриваемая как член семейства шкал местоположений, обсуждаемая стандартная форма имеет местоположение 0 и масштаб 1, но я не уверен, что это то, что вы спрашиваете. (Его медиана равна 1, как предлагается в конце моего ответа, если это поможет.)
Glen_b -Возвратите Монику