Два квантиля бета-распределения определяют его параметры?

Если я даю два квантиля и соответствующие им местоположения (каждый) в открытом интервале , могу ли я всегда найти параметры бета-распределения, в котором эти квантили находятся в указанных местоположениях?( l 1 , l 2 ) ( 0 , 1 $(q_1,q_2)$$(l_1,l_2)$$(0,1)$

Ответ - да, при условии, что данные удовлетворяют очевидным требованиям согласованности. Аргумент прост, основан на простой конструкции, но требует некоторой настройки. Это сводится к интуитивно привлекательному факту: увеличение параметра в бета- распределении увеличивает значение его плотности (PDF) больше при большем чем меньшем ; и увеличение делает противоположное: чем меньше , тем больше значение PDF увеличивается.$a$$(a,b)$$x$$x$$b$$x$

Подробности следуют.

Пусть желаемый квантиль будет а желаемый квантиль будет с и (следовательно) 1 > x 2 > x 1 > 0 . Тогда существуют уникальные a и b, для которых распределение Beta ( a , b ) имеет эти квантили.$q_1$$x_1$$q_2$$x_2$$1 \gt q_2 \gt q_1 \gt 0$$1 \gt x_2 \gt x_1 \gt 0$$a$$b$$(a,b)$

Сложность с демонстрацией этого заключается в том, что распределение бета включает в себя непостоянную нормализующую константу. Напомним определение: для $a\gt 0$ и $b \gt 0$ распределение Beta $(a,b)$ имеет функцию плотности (PDF)

Нормализующая константа - это бета-функция

Все становится грязным, если мы пытаемся дифференцировать $f(x;a,b)$ напрямую по отношению к $a$ и $b$ , что было бы грубым способом сделать попытку демонстрации.

Один из способов избежать анализа бета-функции - это отметить, что квантили являются относительными областями. Это,

для $i=1,2$ . Здесь, например, являются PDF и функция распределения (CDF) , $F$ из Beta $(1.15, 0.57)$ распределения , для которых $x_1=1/3$ и $q_1=1/6$ .

Функция плотности $x\to f(x;a,b)$ слева. $q_1$ - площадь под кривой слева от $x_1$ , обозначенная красным цветом, относительно общей площади под кривой. $q_2$ - область слева от $x_2$ , равная сумме красных и синих областей, опять же относительно общей площади . CDF справа показывает, как $(x_1,q_1)$ и $(x_2,q_2)$ отметьте две разные точки на нем.

На этом рисунке $(x_1,q_1)$ был установлен на уровне $(1/3,1/6)$ , был выбран , чтобы быть 1,15 , а затем значение б было найдено , для которых ( х 1 , д 1 ) лежит на Бета ( а , б ) CDF.$a$$1.15$$b$$(x_1,q_1)$$(a,b)$

Лемма : Такой $b$ всегда можно найти.

Чтобы быть точным, пусть $(x_1, q_1)$ будет исправлена ​​раз и навсегда. (Они остаются неизменными на следующих рисунках: во всех трех случаях относительная площадь слева от $x_1$ равна $q_1$ ) Для любого $a\gt 0$ Лемма утверждает, что существует уникальное значение $b$ , написанное $b(a),$ для которого $x_1$ - квантиль $q_1$ беты $(a,b(a))$ распределение.

Чтобы понять почему, сначала отметим, что, когда $b$ приближается к нулю, все вероятности накапливаются вблизи значений $0$ , откуда $F(x_1;a,b)$ приближается к $1$ . Когда $b$ приближается к бесконечности, все вероятности накапливаются вблизи значений $1$ , откуда $F(x_1;a,b)$ приближается к $0$ . Между ними функция $b\to F(x_1;a,b)$строго увеличивается в $b$ .

Это утверждение геометрически очевидно: это означает, что если мы посмотрим на область слева под кривой $x\to x^{a-1}(1-x)^{b-1}$ относительно общей площади под кривой и сравним ее с Относительная площадь под кривой $x\to x^{a-1}(1-x)^{b^\prime-1}$ при $b^\prime \gt b$ , тогда последняя область является относительно большей. Соотношение этих двух функций$(1-x)^{b^\prime-b}$ . Это функцияравная$1$ при$x=0,$ сбросив устойчиво к$0$ при$x=1.$ Поэтому высоты функции$x\to f(x;a,b^\prime)$ являютсяотносительно большечем высота$x\to f(x;a,b)$ для$x$ слева от$x_1$ чем они для$x$ справа от$x_1.$ Следовательно,площадьслева от$x_1$ в первом должна бытьотносительнобольше, чем площадь справа от$x_1.$ (Это легко перевести в строгий аргумент, например, используя сумму Римана.)

Мы видим , что функция $b\to f(x_1;a,b)$ строго монотонно возрастает с предельных значений на $0$ и $1$ , как $b\to 0$ и $b\to\infty,$ соответственно. Это также (ясно) непрерывно. Следовательно, существует число $b(a)$ где $f(x_1;a,b(a))=q_1$ и это число уникально, доказывая лемму.

Тот же аргумент показывает, что с увеличением $b$ увеличивается площадь слева от $x_2$ . Следовательно, значения $f(x_2;a, b(a))$ изменяются на некотором интервале чисел в $a$ прогрессии от почти $0$ до почти $\infty.$ Предел $f(x_2;a,b(a))$ при $a\to 0$ равен $q_1.$

Вот пример, где $a$ близко к $0$ (это равно $0.1$ ). С $x_1=1/3$ и $q_1=1/6$ (как и в предыдущем рисунке), $b(a) \approx 0.02.$ Между $x_1$ и x 2 почти нет области :$x_2:$

CDF практически плоский между $x_1$ и $x_2,$ откуда $q_2$ практически сверху $q_1.$ В пределе при $a\to 0$ , $q_2 \to q_1.$

В другом крайнем случае , достаточно большие значения $a$ приводят к $F(x_2;a,b(a))$ сколь угодно близким к $1.$ Ниже приведен пример с $(x_1,q_1)$ , как и раньше.

Здесь $a=8$ и $b(a)$ составляет почти $10.$ Теперь $F(x_2;a,b(a))$ по существу равно $1:$ справа от x 2 почти нет области .$x_2.$

Следовательно, вы можете выбрать любое $q_2$ между $q_1$ и $1$ и изменять $a$ до $F(x_2;a,a(b))=q_2.$ Так же , как и раньше, это должно быть уникальным, что и требовалось доказать .$a$

Рабочий Rкод для поиска решений размещен в разделе Определение параметров бета-распределения и β из двух произвольных точек (квантилей)$\alpha$$\beta$ .