Имеет ли смысл вкладывать фиксированный эффект в случайный или как кодировать повторяющиеся измерения в R (aov и lmer)?

Я просматривал этот обзор формул lm / lmer R от @conjugateprior и был озадачен следующей записью:

Теперь предположим, что A случайный, но B фиксирован, а B вложен в A.

aov(Y ~ B + Error(A/B), data=d)

Ниже приведена аналогичная смешанная модельная формула lmer(Y ~ B + (1 | A:B), data=d) для того же случая.

Я не совсем понимаю, что это значит. В эксперименте, где субъекты делятся на несколько групп, мы имеем случайный фактор (субъекты), вложенный в фиксированный фактор (группы). Но как фиксированный фактор может быть вложен в случайный фактор? Что-то фиксированное, вложенное в случайные предметы? Это вообще возможно? Если это невозможно, имеют ли смысл эти формулы R?

Этот обзор упоминается будет частично , на основании страниц личностно-проекта по ведению ANOVA в R опиралась на этом учебнике на повторных измерений в R . Там приведен следующий пример для повторных измерений ANOVA:

aov(Recall ~ Valence + Error(Subject/Valence), data.ex3)

Здесь субъекты представлены словами различной валентности (фактор с тремя уровнями), и их время вспоминания измеряется. Каждый предмет представлен словами всех трех уровней валентности. Я не вижу ничего вложенного в этот дизайн (кажется, что он скрещен, как в великом ответе здесь ), и поэтому я наивно думаю, что Error(Subject)или (1 | Subject)должен быть подходящим случайным термином в этом случае. Subject/Valence«Гнездования» (?) Сбивает с толку.

Обратите внимание, что я понимаю, что Valenceэто фактор внутри субъекта . Но я думаю, что это не «вложенный» фактор в предметах (потому что все предметы испытывают все три уровня Valence).

Обновить. Я изучаю вопросы по CV о кодировании повторных мер ANOVA в R.

• Здесь следующее используется для фиксированных внутри субъекта / повторных измерений A и случайного subject:

  summary(aov(Y ~ A + Error(subject/A), data = d))
  anova(lme(Y ~ A, random = ~1|subject, data = d))
  

• Здесь для двух фиксированных внутри-субъектных / повторных измерений эффектов A и B:

  summary(aov(Y ~ A*B + Error(subject/(A*B)), data=d))
  lmer(Y ~ A*B + (1|subject) + (1|A:subject) + (1|B:subject), data=d) 
  

• Здесь для трех внутрисубъектных эффектов A, B и C:

  summary(aov(Y ~ A*B*C + Error(subject/(A*B*C)), data=d))
  lmer(Y ~ A*B*C + (1|subject) + (0+A|subject) + (0+B|subject) + (0+C|subject) + (0+A:B|subject) + (0+A:C|subject) + (0+B:C|subject), data = d)
  

Мои вопросы:

1. Почему Error(subject/A)и нет Error(subject)?
2. Является ли это (1|subject)или (1|subject)+(1|A:subject)или просто (1|A:subject)?
3. Это (1|subject) + (1|A:subject)или нет (1|subject) + (0+A|subject), и почему не просто (A|subject)?

К настоящему времени я видел некоторые потоки, которые утверждают, что некоторые из этих вещей эквивалентны (например, первое: утверждение, что они одинаковы, но противоположное требование к SO ; третье: вид утверждения, что они одинаковы ). Они?

В смешанных моделях обработка факторов как фиксированных или случайных, особенно в сочетании с тем, являются ли они скрещенными, частично скрещенными или вложенными, может привести к путанице. Кроме того, по-видимому, существуют различия в терминологии между тем, что подразумевается под вложенностью в мире анова / спроектированных экспериментов, и миром смешанных / многоуровневых моделей.

Я не признаю, что знаю все ответы, и мой ответ не будет полным (и может вызвать дополнительные вопросы), но я попытаюсь решить некоторые из проблем здесь:

Имеет ли смысл вкладывать фиксированный эффект в случайный или как кодировать повторяющиеся измерения в R (aov и lmer)?

(название вопроса)

Нет, я не верю, что это имеет смысл. Когда мы имеем дело с повторяющимися мерами, то обычно, что бы ни повторялись меры, они будут случайными, давайте просто назовем это Subject, и lme4мы захотим включить Subjectсправа от одного или нескольких |случайную часть формула. Если у нас есть другие случайные эффекты, то они либо пересекаются, либо частично пересекаются, либо вкладываются - и мой ответ на этот вопрос касается этого.

Проблема с этими разработанными экспериментами типа «анова», по-видимому, заключается в том, как бороться с факторами, которые обычно считаются фиксированными, в ситуации с повторными измерениями, и вопросы в теле ОП говорят об этом:

Почему ошибка (субъект / A), а не ошибка (субъект)?

Я обычно не использую, aov()поэтому я мог что-то упустить, но для меня Error(subject/A)это очень вводит в заблуждение в случае связанного вопроса . Error(subject)на самом деле приводит к точно таким же результатам.

Это (1 | субъект) или (1 | субъект) + (1 | A: субъект) или просто (1 | A: субъект)?

Это относится к этому вопросу. В этом случае все следующие формулировки случайных эффектов приводят к абсолютно одинаковому результату:

(1|subject)
(1|A:subject)
(1|subject) + (1|A:subject)
(1|subject) + (1|A:subject) + (1|B:subject)

Однако это связано с тем, что смоделированный набор данных в вопросе не имеет изменений внутри чего-либо, он просто создается с помощью Y = rnorm(48). Если мы возьмем реальный набор данных, такой как cakeнабор данных в lme4, мы обнаружим, что в общем случае это не так. Из документации приведена экспериментальная установка:

Данные по углу поломки шоколадных тортов делаются по трем различным рецептам и выпекаются при шести разных температурах. Это сплит-сюжетный дизайн с рецептами, представляющими собой целые единицы, и различные температуры, применяемые к единицам (внутри повторов). Экспериментальные примечания предполагают, что нумерация повторов представляет временное упорядочение.

Кадр данных с 270 наблюдениями по следующим 5 переменным.

replicate фактор с уровнями от 1 до 15

recipe фактор с уровнями A, B и C

temperature упорядоченный фактор с уровнями 175 <185 <195 <205 <215 <225

temp числовое значение температуры выпечки (градусы F).

angle числовой вектор, указывающий угол, под которым торт сломался.

Итак, мы повторили измерения внутри replicate, и нас также интересуют фиксированные факторы recipeи temperature(мы можем игнорировать, tempтак как это просто другое кодирование temperature), и мы можем визуализировать ситуацию, используя xtabs:

> xtabs(~recipe+replicate,data=cake)

     replicate
recipe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
     A 6 6 6 6 6 6 6 6 6  6  6  6  6  6  6
     B 6 6 6 6 6 6 6 6 6  6  6  6  6  6  6
     C 6 6 6 6 6 6 6 6 6  6  6  6  6  6  6

Если бы recipeэто был случайный эффект, мы бы сказали, что это скрещенные случайные эффекты. Ни в коем случае не recipe Aпринадлежит replicate 1или любой другой копии.

> xtabs(~temp+replicate,data=cake)

     replicate
temp  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
  175 3 3 3 3 3 3 3 3 3  3  3  3  3  3  3
  185 3 3 3 3 3 3 3 3 3  3  3  3  3  3  3
  195 3 3 3 3 3 3 3 3 3  3  3  3  3  3  3
  205 3 3 3 3 3 3 3 3 3  3  3  3  3  3  3
  215 3 3 3 3 3 3 3 3 3  3  3  3  3  3  3
  225 3 3 3 3 3 3 3 3 3  3  3  3  3  3  3

Аналогично для temp.

Итак, первая модель, которая нам подойдет:

> lmm1 <-  lmer(angle ~ recipe * temperature + (1|replicate), cake, REML= FALSE)

Это будет относиться к каждому replicateкак к единственному источнику случайных отклонений (кроме разности, конечно). Но могут быть случайные различия между рецептами. Таким образом, у нас может возникнуть соблазн включить в recipeкачестве еще одного (скрещенного) случайного эффекта, но это было бы необоснованным, поскольку у нас есть только 3 уровня, recipeпоэтому мы не можем ожидать, что модель будет хорошо оценивать компоненты дисперсии. Таким образом, вместо этого мы можем использовать replicate:recipeв качестве переменной группировки, которая позволит нам рассматривать каждую комбинацию репликации и рецепта как отдельный фактор группировки. Так что если в приведенной выше модели у нас было бы 15 случайных перехватов для уровней, replicateто теперь у нас будет 45 случайных перехватов для каждой из отдельных комбинаций:

lmm3 <-  lmer(angle ~ recipe * temperature + (1|replicate:recipe) , cake, REML= FALSE)

Обратите внимание, что теперь у нас есть (очень немного) разные результаты, указывающие, что есть некоторая случайная изменчивость из-за рецепта, но не очень.

Мы могли бы сделать то же самое с temperature.

Теперь, возвращаясь к вашему вопросу, вы также спросите

Почему (1|subject) + (1|A:subject)и нет (1|subject) + (0+A|subject)или даже просто (A|subject)?

Я не совсем уверен, откуда это (с использованием случайных уклонов) происходит - это, кажется, не возникает в 2 связанных вопросах - но моя проблема в (1|subject) + (1|A:subject)том, что это точно то же самое, (1|subject/A)что означает, что Aвложено в subject, что в Поворот означает (для меня), что каждый уровень Aпроисходит в 1 и только 1 уровень, subjectкоторый здесь явно не тот.

Я, вероятно, добавлю и / или отредактирую этот ответ после того, как еще немного подумаю, но я хотел, чтобы мои первоначальные мысли были опущены.

Ooooops. Оповещатели заметили, что мой пост был полон чепухи. Я путал вложенные дизайны и повторные меры дизайна.

Этот сайт дает полезную разбивку различий между вложенными и повторными измерениями. Интересно, что автор показывает ожидаемые средние квадраты для фиксированной в фиксированной, случайной в фиксированной и случайной в случайной - но не фиксированной в случайной. Трудно представить, что бы это значило - если факторы уровня A выбираются случайным образом, то случайность теперь определяет выбор факторов уровня B. Если 5 школ выбираются случайным образом из школьного совета, а затем 3 учителя Выбранные из каждой школы (учителя, вложенные в школы), уровни фактора «учитель» теперь являются случайным выбором учителей из школьного совета в силу случайного выбора школ. Я не могу «починить» учителей, которые будут у меня в эксперименте.