Тест на значительную разницу в отношениях нормально распределенных случайных величин

Относится к анализу соотношений переменных и как параметризовать отношение двух нормально распределенных переменных или обратное к одной? ,

Предположим, у меня есть несколько выборок из четырех различных непрерывных случайных распределений, все из которых мы можем считать примерно нормальными. В моем случае они соответствуют некоторым показателям производительности двух разных файловых систем (скажем, ext4 и XFS), как с шифрованием, так и без него. Показателем может быть, например, количество файлов, создаваемых в секунду, или среднее время задержки для какой-либо файловой операции. Можно предположить, что все выборки из этих распределений всегда будут строго положительными. Давайте назовем эти дистрибутивы где и . естуре∈{хес,ехт4}енстуртIоп∈{гргурто,постур$\textrm{Perf}_{fstype,encryption}$$fstype \in \{xfs,ext4\}$$encryption \in \{crypto,nocrypto\}$

Теперь моя гипотеза состоит в том, что шифрование замедляет одну из файловых систем в большей степени, чем другую. Есть ли простой тест для гипотезы ?$\frac{E[\textrm{Perf}_{xfs,crypto}]}{E[\textrm{Perf}_{xfs,nocrypto}]} < \frac{E[\textrm{Perf}_{ext4,crypto}]}{E[\textrm{Perf}_{ext4,nocrypto}]}$

Одна из альтернатив ответу StasK - использовать тест перестановки. Первым шагом является определение тестовой статистики , возможно:$T$

$T = \frac{\widehat{Perf}_{ext4,crypto}}{\widehat{Perf}_{ext4,nocrypto}} - \frac{\widehat{Perf}_{xfs,crypto}}{\widehat{Perf}_{xfs,nocrypto}}$

где - это, возможно, примерное среднее значений наблюдений и т. д. (Это соответствует вашему определению гипотезы как отношения ожидания, а не альтернативная возможность ожидания соотношения - какой альтернативой может быть то, что вы действительно хотите.) Второй шаг - это случайная перестановка меток в данных много раз, скажем, , и вычислите для каждой перестановки. Последний шаг - сравнить ваш оригинальный с наблюдаемым ; перестановка оцененного р-значение будет доля . Перфехт4,стуртоехт4,хеся=1,...,10000ТяТТятя≤$\widehat{Perf}_{ext4,crypto}$$\text{Perf}_{ext4,crypto}$$ext4, \space xfs$$i=1, \dots, 10000$$T_i$$T$$T_i$$T_i \leq T$

Тест на перестановку освобождает вас от асимптотики, но, конечно, в зависимости от размера вашей выборки (и, конечно же, и от данных), дельта-метод, который я иногда использую, также может работать очень хорошо.

Вы можете вычислить (асимптотическую) стандартную ошибку отношения, используя дельта-метод . Если у вас есть две случайные величины и такие что в распределении (что было бы в случае, если у вас есть независимые данные, но это также будет иметь место в более общем случае кластерные данные, когда вы запускали свои тесты на разных компьютерах), то для отношения с аналогом имеем Y $X$$Y$ r= ˉ Y / ˉ X ro=μY/μX

$$\sqrt{n}\left(\begin{array}{c} \bar X-\mu_X \\ \bar Y-\mu_Y\end{array}\right) \rightarrow N\left( \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}\right), \left( \begin{array}{cc} \sigma_{XX} & \sigma_{XY} \\ \sigma_{XY} & \sigma_{YY} \end{array} \right) \right)$$ $r=\bar Y/\bar X$$r_o = \mu_Y/\mu_X$XYσXYCV2[r]=CV2[ ˉ X ]+CV2[ ˉ Y ]zH0 $$\sqrt{n}(r-r_0) \to N(0,\frac{\mu_Y^2}{\mu_X^4}\sigma_{XX} - 2\frac{\mu_Y}{\mu_X^3}\sigma_{XY} + \frac1{\mu_X^2}\sigma_{YY})$$ Если и независимы, как это может быть разумно предположить в вашем случае, то это выражение несколько упрощается, если отбрасывать , поэтому мы получаем, что квадратные коэффициенты вариаций суммируются: Он имеет дополнительное преимущество в том, что размеры выборки могут быть разными. Кроме того, если ваши RHS и LHS независимы, вы можете сформировать статистику -test для$X$$Y$$\sigma_{XY}$ $${\rm CV}^2[r] = {\rm CV}^2[\bar X] + {\rm CV}^2[\bar Y]$$ $z$$H_0:$ нет никакой разницы, беря разность отношений и деля ее на соответствующую стандартную ошибку, полученную из этих CV.

Я надеюсь, что вы можете взять его оттуда и выполнить оставшуюся часть расчетов конверта, чтобы получить окончательную формулу.

Обратите внимание, что результат является асимптотическим, а отношение является смещенной оценкой в небольших выборках. Смещение имеет порядок и исчезает асимптотически по сравнению с изменчивостью выборки, которая имеет порядок .r 0 O ( 1 / n ) O ( 1 / $r$$r_0$$O(1/n)$$O(1/\sqrt{n})$

Соотношение нормальных вариаций распределяется по Коши. Зная это, вы можете просто выполнить тест Байеса.

Это была довольно спонтанная идея. Теперь я не уверен насчет механизма генерации данных. Устанавливаете ли вы разные файловые системы на одном компьютере, а затем проводите тестирование для двух случаев, чтобы мы могли принять иерархическую структуру данных?

Кроме того, я не уверен, что соотношение выглядит на самом деле имеет смысл.

А потом вы написали соотношение ожидаемых значений, тогда как я подумал об ожидаемом значении коэффициентов. Я думаю, мне нужно больше информации о генерации данных, прежде чем двигаться дальше.

В случаях, когда вы не можете выполнить перестановки, например, когда размер выборки создает миллионы возможностей, другим решением будет повторная выборка Монте-Карло.

$ext4$$xfs$$nocrypto$$crypto$$\frac{ext4}{xfs}$$nocrypto$$crypto$

$H_{0}:T_{observed}=\frac{\sum x_{nocrypto} }{n_{nocrypto}}-\frac{\sum x_{crypto} }{n_{crypto}}=0$

$x=\frac{ext4}{xfs}$

$n=sample\, size$

$H_{0}$$nocrypto$$crypto$$T_{observed}=0$

$T_{resampling}=\frac{x_{1}^{random}{+ x}_{n}^{random}}{n_{nocrypto}}-\frac{x_{1}^{random}{+ x}_{n}^{random}}{n_{crypto}}$

$T_{resampling}$$H_{0}$$nocrypto$$crypto$$T_{observed}$$(p < 0.05)$$T_{resampling}$