Что такое изотропная (сферическая) ковариационная матрица?

Ковариационная матрица называется изотропной или сферической , если она пропорциональна единичной матрице: то есть она диагональна и все элементы на диагонали равны. $\mathbf C$

C = λ I,

$\mathbf C = \lambda \mathbf I,$

Это определение не зависит от системы координат; если мы повернем систему координат с ортогональной матрицей вращения , то ковариационная матрица превратится в т.е. останется прежней. $\mathbf V$

В^{⊤} С В знак равно В^{⊤} \cdot λ я \cdot В знак равно В^{⊤} В \cdot λ я знак равно λ я,

$\mathbf V^\top \mathbf C \mathbf V = \mathbf V^\top \cdot \lambda \mathbf I \cdot\mathbf V = \mathbf V^\top \mathbf V \cdot \lambda \mathbf I = \lambda \mathbf I,$

Интуитивно понятно, что изотропная ковариационная матрица соответствует «сферическому» облаку данных. Сфера остается сферой после вращения.

амеба
источник

Что если переменные можно повернуть, чтобы получить матрицу ковариации

λ I

$\lambda \mathbf I$

Аксакал

@Aksakal Смотрите обновление.

амеба

C

$C$

@whuber Интересно! Я не помню, чтобы существовало понятие «изотропных» квадратичных форм. Но читая определение сейчас, не будет ли любая ковариационная матрица с хотя бы одним нулевым собственным значением быть "изотропной" в этом смысле?

амеба

Вы правы - я неправильно указал квантификатор. По определению, изотропная квадратичная форма имеет по крайней мере один ненулевой изотропный вектор (а не все векторы, являющиеся изотропными).

whuber

Что такое изотропная (сферическая) ковариационная матрица?

Ответы: