Оценка среднего и st dev усеченной гауссовой кривой без пика

Предположим, у меня есть черный ящик, который генерирует данные после нормального распределения со средним m и стандартным отклонением s. Предположим, однако, что всякий раз, когда он выводит значение <0, он ничего не записывает (даже не может сказать, что он вывел такое значение). У нас есть усеченное гауссовское распределение без скачка.

Как я могу оценить эти параметры?

Модель для ваших данных будет:

$y_i \sim N(\mu,\sigma^2) I(y_i > 0)$

Таким образом, функция плотности:

где,

- стандартный нормальный cdf.$\phi(.)$

Затем вы можете оценить параметры и σ, используя метод максимального правдоподобия или байесовский метод.$\mu$$\sigma$

Как предположил Срикант Вадали, Коэн и Халд решили эту проблему, используя ML (с искателем корней Ньютона-Рафсона) около 1950 года. Еще одна статья - «Оценка в усеченном нормальном распределении» Макса Гальперина, доступная на JSTOR (для тех, у кого есть доступ). Погуглив «усеченную гауссову оценку», вы получите множество полезных хитов.

Подробности представлены в теме, которая обобщает этот вопрос (в основном для усеченных дистрибутивов). См. Оценки максимального правдоподобия для усеченного распределения . Она также может представлять интерес для сравнения оценок максимального правдоподобия для решения максимальной энтропии заданного (с кодом) на Max энтропии Solver в R .

Имея техническую границу TB для упрощенный подход Х. Шнайдера очень полезен для вычисления среднего значения μ t и стандартного отклонения σ t усеченного нормального распределения:$a=0$$\mu_t$$\sigma_t$

1. Рассчитайте среднее значение и стандартное отклонение σ (всю совокупность!) для набора данных:$\mu$$\sigma$

   $\mu = \bar{x}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i$

   $\sigma = s = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}$

2. проверьте, имеет ли техническая граница действительное расстояние до среднего ˉ x :$TB=a=0$$\bar{x}$

   рассмотрение не является необходимым, если ˉ x ≤ 3 $TB = a$$\bar{x} \le 3s$

3. $\omega, P_3(\omega), P_4(\omega)$$Q(\omega)$

   $\omega = \frac{s^2}{(a-\bar{x})^2}$

   $P_3(\omega) = 1+5,74050101\omega - 13,53427037\omega^2 + 6,88665552\omega^3$

   $P_4(\omega) = -0,00374615 + 0,17462558\omega - 2,87168509\omega^2 + 17,48932655\omega^3 - 11,91716546\omega^4$

   $Q(\omega) = \frac{P_4(\omega)}{P_3(\omega)}$

4. $\omega \le 0,57081$$\mu_t$$<0$

5. $\mu_t$$\sigma_t$

   $\mu_t = \bar{x} + Q(\omega) \cdot (a-\bar{x})$

   $\sigma_{t}^{2} = s^2 + Q(\omega) \cdot (a-\bar{x})^2$

Вот и все...