Производная гауссовского процесса

Я считаю, что производная гауссовского процесса (ГП) - это другая ГП, и поэтому я хотел бы знать, существуют ли уравнения замкнутой формы для уравнений предсказания производной от ГП? В частности, я использую квадратичное экспоненциальное (также называемое гауссовским) ковариационное ядро и хочу знать, как делать предсказания о производной гауссовского процесса.

Что вы имеете в виду под производной от GP? Вы случайно генерируете кривую из BP, , а затем берете производную?

x (t)

$x(t)$

Плацидия

@Placidia, нет, я имею в виду вычисление , которое, как я считаю, должно быть еще одним гауссовским процессом

\frac{\partial x (t)}{\partial t}

$\frac{\partial x(t)}{\partial t}$

Хороший вопрос. Однако я, кажется, вспоминаю, что броуновское движение является как GP, так и нигде не дифференцируемым. Поэтому я не уверен, что может быть общее выражение. Конечно, x (t) -x (th) должен быть гауссовским, поэтому при наличии ковариационной функции должно быть возможно думать о вероятностях этого для данного h.

предположения

@conjectures, именно поэтому я специально сказал, что у меня есть GP, где функция ядра является квадратом экспоненциальной (так как я знаю, что эта функция бесконечно дифференцируема), и на самом деле искал только производный случай в моем примере. Но хороший момент, тем не менее!

Ответы:

Краткий ответ: Да, если ваш Гауссовский процесс (GP) дифференцируем, его производная снова является GP. С ним можно обращаться, как с любым другим GP, и вы можете рассчитывать прогнозные распределения.

Но поскольку GP и его производные тесно связаны, вы можете вывести свойства одного из другого. $G$ $G'$

Существование $G'$

GP с нулевым средним и ковариационной функцией дифференцируемы (в среднем квадрате), если существует . В этом случае ковариационная функция равна . Если процесс не является нулевым средним, то функция среднего значения также должна быть дифференцируемой. В этом случае средняя функция является производной от средней функции . $K$ $K'(x_1, x_2)=\frac{\partial^2 K}{\partial x_1 \partial x_2}(x_1,x_2)$ $G'$ $K'$ $G'$ $G$

(Более подробно см., Например, Приложение 10А А. Папулиса «Вероятность, случайные величины и случайные процессы»).

Поскольку гауссово экспоненциальное ядро дифференцируемо от любого порядка, это не проблема для вас.

Прогнозирующее распределение для $G'$

$G'$

$G'$ $G$ $G$

$G'$ $G$ $G$ $K'$

гг
источник

Я не понимаю ваш вопрос. Существует явная формула для ковариационной функции и функции среднего значения, приведенная выше (и в 9.4 Расмуссена / Уильямса). Так как это все, что нужно знать и использовать терапевта, что еще можно попросить?

гг

G^{'}

$G'$

Возможно ли, что вы путаете среднюю функцию и пути процесса? Обратите внимание, что средняя функция является более гладкой, чем пути и может быть дифференцируемой, даже если процесс не является. Но функция среднего значения является детерминированной функцией, а не процессом, поэтому нет никакой дисперсии, которую можно вычислить.

гг

Это. См. Расмуссен и Уильямс, раздел 9.4 . Также некоторые авторы категорически против квадратного экспоненциального питомника - он слишком гладкий.

Яир Даон
источник

Так есть ли прогнозное распределение для производной?