инвариантность корреляции к линейному преобразованию:

Это на самом деле является одной из проблем в 4-й редакции «Базовой эконометрики» Гуджарати (Q3.11), в которой говорится, что коэффициент корреляции инвариантен относительно изменения происхождения и масштаба, то есть где , , , - произвольные постоянные.

$$\text{corr}(aX+b, cY+d) = \text{corr}(X,Y)$$ $a$$b$$c$$d$

Но мой главный вопрос заключается в следующем: пусть и являются парными наблюдениями и предположим, что и положительно коррелированы, то есть . Я знаю, что будет отрицательным, основываясь на интуиции. Однако если мы возьмем , из этого следует, что что не имеет смысла.$X$$Y$$X$$Y$$\text{corr}(X,Y)>0$$\text{corr}(-X,Y)$$a=-1, b=0, c=1, d=0$

$$\text{corr}(-X,Y) = \text{corr}(X,Y) >0$$

Буду признателен, если кто-то может указать на разрыв. Спасибо.

Так как и равенство имеет место только тогда, когда и оба положительные или оба отрицательные, т.е. .

$$\text{corr}(X,Y)=\frac{\text{cov}(X,Y)}{\text{var}(X)^{1/2}\,\text{var}(Y)^{1/2}}$$ $$\text{cov}(aX+b,cY+d)=ac\,\text{cov}(X,Y)$$ $$\text{corr}(aX+b, cY+d) = \text{corr}(X,Y)$$ $a$$c$$ac>0$