Пример распределения с тяжелым хвостом, которое не является длиннохвостым

Из прочтений о тяжелых и длиннохвостых дистрибутивах я понял, что все длиннохвостые дистрибутивы имеют «большой хвост» , но не все дистрибутивы с «длинным хвостом» имеют длинный хвост .

Может ли кто-нибудь привести пример:

• непрерывная симметричная функция плотности с нулевым средним, длиннохвостая
• непрерывная, симметричная, функция с нулевой средней плотностью, с тяжелыми хвостами, но не с длинными хвостами

чтобы я мог лучше понять смысл их определений?

Было бы еще лучше, если бы оба могли иметь единичную дисперсию.

Два определения близки, но не совсем одинаковы. Одно из различий заключается в необходимости ограничения выживаемости.

Для большей части этого ответа я буду игнорировать критерии для распределения, чтобы быть непрерывным, симметричным и конечной дисперсии, потому что их легко выполнить, как только мы нашли любое распределение с тяжелыми хвостами конечной дисперсии, которое не является длиннохвостым.

---

Распределение является тяжелым хвостом , когда для любого т > 0 ,$F$$t\gt 0$

$$\int_\mathbb{R} e^{t x} dF(x) = \infty.\tag{1}$$

Распределение с функцией выживания является длиннохвостым, когда$G_F = 1-F$

$$\lim_{x\to \infty} \frac{G_F(x+1)}{G_F(x)} = 1.\tag{2}$$

Длиннохвостые распределения тяжелы. Кроме того, поскольку не возрастает, предел отношения ( 2 ) не может превышать 1 . Если он существует и меньше 1 , то G экспоненциально убывает - и это позволит интегралу ( 1 ) сходиться.$G$$(2)$$1$$1$$G$$(1)$

Единственный способ показать распределение с длинными хвостами, которое не является длиннохвостым, состоит в том, чтобы изменить распределение с длинными хвостами так, чтобы продолжал удерживаться, в то время как ( 2 ) нарушается. Ограничить предел легко: измените его в бесконечном количестве мест, которые расходятся до бесконечности. Это займет некоторое время с F , который должен оставаться увеличивающимся и cadlag. Одним из способов является введение некоторых скачков вверх в F , что заставит G перескакивать вниз, уменьшая отношение G F ( x + 1 ) / G F ( x $(1)$$(2)$$F$$F$$G$$G_F(x+1)/G_F(x)$, Для этого давайте определим преобразование которое превращает F в другую действительную функцию распределения, одновременно создавая внезапный скачок значения u , скажем, переход на полпути от F ( u ) к 1 :$T_u$$F$$u$$F(u)$$1$

$$T_u[F](x) = \begin{cases} F(x) & u<x \\ \frac{1}{2} (1-F(x))+F(x) & u\geq x \end{cases}$$

Это не меняет базового свойства : T u [ F ] все еще является функцией распределения.$F$$T_u[F]$

Влияние на , чтобы сделать его падение с коэффициентом 1 / 2 при ц . Следовательно, поскольку G неубывающая, то всякий раз, когда u - 1 ≤ x < u ,$G_F$$1/2$$u$$G$$u-1 \le x \lt u$

$$\frac{G_{T_u[F]}(x + 1)}{G_{T_u[F]}(x )} \le \frac{1}{2}.$$

Если мы выберем возрастающую и расходящуюся последовательность , i = 1 , 2 , … и применим каждый T u i по очереди, это определит последовательность распределений F i с F 0 = F и$u_i$$i=1, 2, \ldots$$T_{u_i}$$F_i$$F_0=F$

$$F_{i+1} = T_{u_i}[F_i]$$

для . После i- го шага F i ( x ) , F i + 1 ( x ) , … все остаются теми же для x < u i . Следовательно, последовательность F i ( x ) является неубывающей, ограниченной, поточечной последовательностью функций распределения, подразумевающей ее предел$i \ge 1$$i^\text{th}$$F_i(x), F_{i+1}(x), \ldots$$x\lt u_i$$F_i(x)$

$$F_\infty = \lim_{i\to\infty} F_i$$

является функцией распределения. По конструкции это не длинный хвост , потому что существует бесконечное множество точек , в которых его коэффициент выживаемости падает до 1 / 2 или ниже, показывает , что не может быть 1 , как предел.$G_{F_\infty}(x+1)/G_{F_\infty}(x))$$1/2$$1$

Этот график показывает , функция выживаемости , который был сокращен таким образом , в точках U 1 ≈ 12,9 , U 2 ≈ 40,5 , у 3 ≈ 101.6 , ... . Обратите внимание на логарифмическую вертикальную ось.$G(x) = x^{-1/5}$$u_1 \approx 12.9, u_2 \approx 40.5, u_3 \approx 101.6, \ldots.$

Надежда состоит в том, чтобы иметь возможность выбрать так, чтобы F ∞ оставался тяжелым хвостом. Мы знаем, потому что F с тяжелым хвостом, что есть числа 0 = u 0 < u 1 < u 2 < ⋯ < u n ⋯, для которых$(u_i)$$F_\infty$$F$$0 = u_0 \lt u_1 \lt u_2 \lt \cdots \lt u_n \cdots$

$$\int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/i} dF(x) \ge 2^{i-1}$$

for every $i \ge 1$. The reason for the $2^{i-1}$ on the right is that the probabilities assigned by $F$ to values up to $u_i$ have been successively cut in half $i-1$ times. That procedure, when $dF(x)$ is replaced by $dF_{j}(x)$ for any $j\ge i$, will reduce $2^{i-1}$ to $1$, but no lower.

Это график для плотностей f, соответствующих предыдущей функции выживания и ее «урезанной» версии. Области под этой кривой способствуют ожиданию. Площадь от 1 до U 1 представляет 1 ; площадь от u 1 до u 2 равна 2 , которая при срезании (до нижней синей части) становится площадью 1 ; площадь от u 2 до u 3 равна 4 , которая при срезании становится площадью $x f(x)$$f$$1$$u_1$$1$$u_1$$u_2$$2$$1$$u_2$$u_3$$4$$1$, and so on. Thus, the area under each successive "stair step" to the right is $1$.

Let us pick such a sequence $(u_i)$ to define $F_\infty$. We can check that it remains heavy-tailed by picking $t=1/n$ for some whole number $n$ and applying the construction:

$$\eqalign{ \int_\mathbb{R} e^{t x} dF_\infty(x) &=\int_\mathbb{R} e^{x/n} dF_\infty(x) \\ &= \sum_{i=1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/n} dF_\infty(x) \\ &\ge \sum_{i=n+1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/n} dF_\infty(x) \\ &\ge \sum_{i=n+1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/i} dF_\infty(x) \\ &= \sum_{i=n+1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/i} dF_i(x) \\ &\ge \sum_{i=n+1}^\infty 1, }$$

which still diverges. Since $t$ is arbitrarily small, this demonstrates that $F_\infty$ remains heavy-tailed, even though its long-tailed property has been destroyed.

This is a plot of the survival ratio $G(x+1)/G(x)$ for the cut down distribution. Like the ratio of the original $G$, it tends toward an upper accumulation value of $1$--but for unit-width intervals terminating at the $u_i$, the ratio suddenly drops to only half of what it originally was. These drops, although becoming less and less frequent as $x$ increases, occur infinitely often and therefore prevent the ratio from approaching $1$ in the limit.

---

If you would like a continuous, symmetric, zero-mean, unit-variance example, begin with a finite-variance long-tailed distribution. $F(x) = 1 - x^{-p}$ (for $x \gt 0$) will do, provided $p \gt 1$; so would a Student t distribution for any degrees of freedom exceeding $2$. The moments of $F_\infty$ cannot exceed those of $F$, whence it too has finite variance. "Mollify" it via convolution with a nice smooth distribution, such as a Gaussian: this will make it continuous but will not destroy its heavy tail (obviously) nor the absence of a long tail (not quite as obvious, but it becomes obvious if you change the Gaussian to, say, a Beta distribution whose support is compact).

Symmetrize the result--which I will still call $F_\infty$--by defining

$$F_s(x) = \frac{1}{2}\left(1 + \text{sgn}(x) F_\infty(|x|)\right)$$

for all $x\in\mathbb{R}$. Its variance will remain finite, so it can be standardized to the desired distribution.