Оценка максимального правдоподобия для отрицательного биномиального распределения

Вопрос в следующем:

Случайная выборка из n значений собирается из отрицательного биномиального распределения с параметром k = 3.

1. Найти оценку максимального правдоподобия параметра π.
2. Найти асимптотическую формулу для стандартной ошибки этой оценки.
3. Объясните, почему отрицательное биномиальное распределение будет приблизительно нормальным, если параметр k достаточно велик. Каковы параметры этого нормального приближения?

Моя работа заключалась в следующем:
1. Я чувствую, что это то, что нужно, но я не уверен, что я здесь прав, или могу ли я пойти дальше, учитывая предоставленную информацию?

2. Я думаю, что следующее - то, о чем просят. В заключительной части я чувствую, что мне нужно заменить $\hat{\pi}$ на $\dfrac{k}{x}$

   $$\ell``(\hat{\pi}) = -\dfrac{k}{\hat{\pi}^2} + \dfrac{x}{(1-\hat{\pi})^2}\\ se(\hat{\pi}) = \sqrt{-\dfrac{1}{\ell``(\hat{\pi})}}\\ se(\hat{\pi}) = \sqrt{\dfrac{\hat{\pi}^2}{k} - \dfrac{(1-\hat{\pi})^2}{x}}\\$$

3. Я не совсем уверен, как доказать это, и все еще исследую это. Любые советы или полезные ссылки будут с благодарностью. Я чувствую, что это связано либо с тем фактом, что отрицательное биномиальное распределение можно рассматривать как совокупность геометрических распределений, либо с инверсией биномиального распределения, но не знаю, как к нему подойти.

Любая помощь будет принята с благодарностью

1.

$p(x) = {x_i-1 \choose k-1}\pi^k(1-\pi)^{x_i-k}$

$L(\pi;x_i) = \prod_{i=1}^{n}{x_i-1 \choose k-1}\pi^k(1-\pi)^{x_i-k}\\$

$\ell(\pi;x_i) = \sum_{i=1}^{n}[log{x_i-1 \choose k-1}+klog(\pi)+(x_i-k)log(1-\pi)]\\ \frac{d\ell(\pi;x_i)}{d\pi} = \sum_{i=1}^{n}[\dfrac{k}{\pi}-\dfrac{(x_i-k)}{(1-\pi)}]$

Установите это в ноль,

$\frac{nk}{\pi}=\frac{\sum_{i=1}^nx_i-nk}{1-\pi}$

$\therefore$ $\hat\pi=\frac{nk}{\sum_{i=1}^nx}$

2.

Для второй части вам нужно использовать теорему, что , является информацией рыболова здесь. Следовательно, стандартное отклонение будет . Или вы называете это стандартной ошибкой, так как вы используете CLT здесь.$\sqrt{n}(\hat\theta-\theta) \overset{D}{\rightarrow}N(0,\frac{1}{I(\theta)})$$I(\theta)$$\hat\theta$$[nI(\theta)]^{-1/2}$

Поэтому нам нужно вычислить информацию Фишера для отрицательного биномиального распределения.

$\frac{\partial^2 \log(P(x;\pi))}{\partial\pi^2}=-\frac{k}{\pi^2}-\frac{x-k}{(1-\pi)^2}$

$I(\theta)=-E(-\frac{k}{\pi^2}-\frac{x-k}{(1-\pi)^2})=\frac{k}{\pi^2}+\frac{k(1-\pi)}{(1-\pi)^2\pi}$

Примечание: для отрицательного бинома pmf$E(x) =\frac{k}{\pi}$

Поэтому стандартной ошибкой для является$\hat \pi$$[n(\frac{k}{\pi^2}+\frac{k(1-\pi)}{(1-\pi)^2\pi})]^{-1/2}$

Проще говоря, мы получаем$se(\pi)=\sqrt{\dfrac{\pi^2(\pi-1)}{kn}}$

3.

Геометрическое распределение является частным случаем отрицательного биномиального распределения, когда k = 1. Примечание является геометрическим распределением$\pi(1-\pi)^{x-1}$

Следовательно, отрицательная биномиальная переменная может быть записана как сумма k независимых одинаково распределенных (геометрических) случайных величин.

Таким образом, по CLT отрицательное биномиальное распределение будет примерно нормальным, если параметр k достаточно велик