Почему супремум броуновского моста имеет распределение Колмогорова – Смирнова?

Распределение Колмогорова – Смирнова известно из теста Колмогорова – Смирнова . Тем не менее, это также распределение супремума броуновского моста.

Поскольку это далеко не очевидно (для меня), я хотел бы попросить вас интуитивно объяснить это совпадение. Ссылки также приветствуются.

$\sqrt{n}\sup_x|F_n-F|=\sup_x|\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^nZ_i(x)|$

где $Z_i(x)=1_{X_i\leq x}-E[1_{X_i\leq x}]$

по CLT у вас $G_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^nZ_i(x)\rightarrow \mathcal{N}(0,F(x)(1-F(x)))$

это интуиция ...

броуновский мост $B(t)$ имеет дисперсию http://en.wikipedia.org/wiki/Brownian_bridge, заменив t на F ( x ) . Это для одного х ...$t(1-t)$ $t$$F(x)$$x$

Вам также необходимо проверить ковариацию, и, следовательно, все еще легко показать (CLT), что для ( ) ( G n ( x 1 ) , … , G n ( x k ) ) → ( B 1 , … , B k ) где ( B 1 , … , B k ) есть N ( 0 , Σ ) с$x_1,\dots,x_k$$(G_n(x_1),\dots,G_n(x_k))\rightarrow (B_1,\dots,B_k)$$(B_1,\dots,B_k)$$\mathcal{N}(0,\Sigma)$ , σ i j = min ( F ( x i ) , F ( x j ) ) - F ( x i ) F ( x j ) . $\Sigma=(\sigma_{ij})$$\sigma_{ij}=\min(F(x_i),F(x_j))-F(x_i)F(x_j)$

Трудно часть, чтобы показать , что распределение suppremum предела является супремумом распределения предела ... Чтобы понять , почему это происходит , требует некоторой эмпирической теории процесса, чтение книг , таких , как ван дер Ваарт и Welner (не легко) , Название этой теоремы - Теорема Донскера http://en.wikipedia.org/wiki/Donsker%27s_theorem ...

Для Колмогорова-Смирнова рассмотрим нулевую гипотезу. Это говорит о том, что образец взят из определенного дистрибутива. Так что если вы построите эмпирическую функцию распределения для $n$ выборок , в пределе бесконечных данных оно будет сходиться к базовому распределению.$f(x) = \frac{1}{n} \sum_i \chi_{(-\infty, X_i]}(x)$

Для конечной информации, это будет выключено. Если одно из измерений , то при x = q эмпирическая функция распределения делает шаг вверх. Мы можем рассматривать это как случайное блуждание, которое должно начинаться и заканчиваться истинной функцией распределения. Как только вы это узнаете, вы обыскиваете литературу для огромного количества информации, известной о случайных прогулках, чтобы выяснить, какое наибольшее ожидаемое отклонение такой прогулки.$q$$x=q$

Вы можете проделать тот же трюк с любой нормой различия между эмпирическими и базовыми функциями распределения. Для р $p$$p=2$$p$