Список литературы: Хвост обратного cdf

Я почти уверен, что уже видел следующий результат в статистике, но я не могу вспомнить, где.

Если - положительная случайная величина и то когда , где - это КФР . $X$ $\mathbb{E}(X)<\infty$ $\varepsilon F^{-1}(1-\varepsilon) \to 0$ $\varepsilon\to 0^+$ $F$ $X$

Это легко увидеть геометрически, используя равенство и рассматривая горизонтальный разрез в области под кривой подынтегрального выражения . $\mathbb{E}(X)=\int 1-F$ $\varepsilon$ $1-F$

Знаете ли вы ссылку на этот результат и есть ли у него имя?

references quantiles cdf moments Стефан Лоран
источник

«В более общем смысле» - это прямое применение интеграции по частям. Это едва ли нуждается в ссылке!

whuber

@whuber Я тоже прошу ссылку на первый результат.

Стефан Лоран

Возможно, вы видели это или, по крайней мере, что-то очень похожее, по адресу stats.stackexchange.com/questions/18438 . Этот результат обусловлен заменой в интеграле, которая опять-таки настолько проста, что не следует ожидать, что она будет особо отмечена в литературе или получит какое-то специальное название.

uber

@whuber Я не вижу

в вашей ссылке. Более того, упомянутый мною результат верен и для дискретного

(принимая

за последовательность и заменяя

на

в более общем утверждении). Первый результат даже верен для общего

, я думаю.

ϵ F^{- 1} (1 - ϵ) \to 0

$\epsilon F^{-1}(1-\epsilon) \to 0$

F

$F$

g

$g$

\int

$\int$

\sum

$\sum$

F

$F$

Стефан Лоран

Я полагаю, что это можно использовать без каких-либо ссылок, если это указано в более классических терминах. Грубо говоря, это:

при

, прямое следствие:

x \bar{F} (x) \to 0

$x\,\bar{F}(x) \to 0$

x \to \infty

$x \to \infty$

\bar{F} := 1 - F

$\bar{F} := 1 - F$

и доминирующей сходимости. Небольшая работа необходима, чтобы получить утверждение для (слева непрерывного) обратного

в общем случае, когда

может иметь шаги.

x Pr {X > x} \leq E [X 1_{{X > x}}]

$x \,\text{Pr}\{ X > x \} \leq \mathbb{E}[X \,1_{\{X > x\}}]$

F^{- 1}

$F^{-1}$

F

$F$

Ив

Чтобы справиться с «небольшой работой», предложенной Ивом в комментариях, геометрия предлагает строгое и полностью общее доказательство.

При желании вы можете заменить все ссылки на области интегралами, а ссылки на «произвольные» обычными аргументами epsilon-delta. Перевод прост.

Чтобы настроить картинку, пусть будет функцией выживания $G$

г (Икс) знак равно 1 - F (Икс) знак равно Pr (Икс > Икс),

$G(x) = 1-F(x) = \Pr(X \gt x).$

На рисунке участки часть . (Обратите внимание на скачок на графике: это конкретное распределение не является непрерывным.) Показано большое пороговое значение и была выбрана крошечная вероятность (так что ). $G$ $T$ $\epsilon \le G(T)$ $G^{-1}(\epsilon)\ge T$

Мы готовы к работе: значение, которое нас интересует, (то, которое мы хотим показать, сходится к нулю), это площадь белого прямоугольник с высотой и основанием от до . Давайте свяжем эту область с ожиданием , потому что единственное доступное нам допущение состоит в том, что это ожидание существует и конечно. $\epsilon F^{-1}(1-\epsilon) = \epsilon G^{-1}(\epsilon)$ $\epsilon$ $x=0$ $x= G^{-1}(\epsilon)$ $F$

Положительная часть ожидания - это область под кривой выживания (от до ): $E_{+}$ $\mathbb{E}_F(X)$ $0$ $\infty$

Е_{F} (Икс) знак равно Е_{+} - Е_{-} знак равно \int_{0}^{\infty} г (Икс) d Икс - \int_{- \infty}^{0} F (Икс) d Икс,

$\mathbb{E}_F(X) = E_{+}-E_{-} = \int_0^\infty G(x) dx - \int_{-\infty}^0 F(x) dx.$

Поскольку должно быть конечным (в противном случае само ожидание не существовало бы и было бы конечным), мы можем выбрать настолько большим, что область под между и учитывает все или почти все . $E_{+}$ $T$ $G$ $0$ $T$ $E_{+}$

Все части теперь на месте: график , порог , небольшая высота и правая конечная точка предполагают разбиение на области, которые мы можем проанализировать: $G$ $T$ $\epsilon$ $G^{-1}(\epsilon)$ $E_{+}$

Когда идет к нулю сверху, площадь белого прямоугольника с основанием уменьшается до нуля, потому что остается постоянным. ( Вот почему был представлен; это ключевая идея этой демонстрации. ) $\epsilon$ $0\le x \lt T$ $T$ $T$
Синюю область можно сделать как можно ближе к , начав с достаточно большой буквы а затем выбрав маленькую . $E_{+}$ $T$ $\epsilon$
Следовательно, оставшаяся площадь, которая явно не больше белого прямоугольника с основанием от до может быть сделана сколь угодно малой. (Другими словами, просто игнорируйте красные и золотые области.) $x=T$ $x=G^{-1}(\epsilon)$

Таким образом, мы разбили на две части, области которых сходятся к нулю. $\epsilon G^{-1}(\epsilon)$ Таким образом, , КЭД. $\epsilon G^{-1}(\epsilon)\to 0$

Whuber
источник

Список литературы: Хвост обратного cdf

Ответы: