Меры сходства или расстояния между двумя ковариационными матрицами

Существуют ли меры сходства или расстояния между двумя симметричными ковариационными матрицами (обе имеют одинаковые размеры)?

Я имею в виду аналоги KL-расходимости двух вероятностных распределений или евклидова расстояния между векторами, за исключением примененных к матрицам. Я предполагаю, что было бы довольно много измерений подобия.

В идеале я также хотел бы проверить нулевую гипотезу о том, что две ковариационные матрицы идентичны.

Вы можете использовать любую из норм (см. Википедию по различным нормам; обратите внимание, что квадратный корень из суммы квадратов расстояний, \ sqrt {\ sum_ {i, j} (a_ {ij} -b_ {ij}) ^ 2} , называется нормой Фробениуса и отличается от нормы L_2 , которая является корнем квадратным из наибольшего собственного значения (AB) ^ 2 , хотя, конечно, они будут генерировать ту же топологию). Расстояние KL между двумя нормальными распределениями с одинаковыми средними (скажем, нулем) и двумя конкретными ковариационными матрицами также доступно в Википедии как \ frac12 [\ mbox {tr} (A ^ {- 1} B) - \ mbox {ln } (| B | / | A |)] .$\| A-B \|_p$ L2(A-B)$\sqrt{\sum_{i,j} (a_{ij}-b_{ij})^2}$$L_2$$(A-B)^2$$\frac12 [ \mbox{tr} (A^{-1}B) - \mbox{ln}( |B|/|A| ) ]$

Редактировать: если одна из матриц является подразумеваемой матрицей, а другая - образцом ковариационной матрицы, то, конечно, вы можете сформировать критерий отношения правдоподобия между ними. Моя личная любимая коллекция таких тестов для простых структур дана в Rencher (2002) Methods of Multitivariate Analysis . Более сложные случаи рассматриваются в моделировании ковариационных структур, на котором разумной отправной точкой является Боллен (1989) Структурные уравнения со скрытыми переменными .

Обозначим и ваши матрицы обеих размерностей .Σ 2$\varSigma_1$$\varSigma_2$$p$

1. Cond number: где ( ) - это наибольшее (наименьшее) собственное значение , где определяется как: λ 1 λ р Σ * Σ * Σ * : = Σ - 1 / 2 1 Σ 2 Σ - 1 / 2$\log(\lambda_1)-\log(\lambda_p)$$\lambda_1$$\lambda_p$$\varSigma^*$$\varSigma^*$$\varSigma^*:=\varSigma_1^{-1/2}\varSigma_2\varSigma_1^{-1/2}$

Изменить: я отредактировал второе из двух предложений. Я думаю, что неправильно понял вопрос. Предложение, основанное на номерах условий, часто используется в надежной статистике для оценки качества соответствия. Старый источник, который я мог найти для этого:

Yohai, VJ and Maronna, RA (1990). Максимальный уклон робастных ковариаций. Сообщения в статистике - теория и методика, 19, 3925–2933.

Первоначально я включил показатель отношения Det:

2. Коэффициент : где .Σ ∗ ∗ =(Σ1+Σ2)/$\log(\det(\varSigma^{**})/\sqrt{\det(\varSigma_2)*\det(\varSigma_1)})$$\varSigma^{**}=(\varSigma_1+\varSigma_2)/2$

это будет расстояние Бхаттачарьи между двумя гауссовыми распределениями, имеющими один и тот же вектор местоположения. Я, должно быть, первоначально прочитал вопрос как относящийся к обстановке, где две ковариации исходили из выборок из популяций, предположительно имеющих одинаковые средние значения.

Мера, введенная Хердином (2005), «Расстояние корреляционной матрицы, значимая мера для оценки нестационарных каналов MIMO» : где нормой является норма Фробениуса.

Расстояние ковариационной матрицы используется для отслеживания объектов в Computer Vision.

Используемая в настоящее время метрика описана в статье: «Метрика для ковариационных матриц» , автор Förstner и Moonen.