Докажите или предоставьте контрпример:
Если , то
Моя попытка :
FALSE: предположим, что может принимать только отрицательные значения, и предположим, что
THEN , однако для четных , не является строго отрицательным. Вместо этого он чередуется с отрицательным к положительному и отрицательному. Следовательно, не сходится почти наверное к .
Это разумный ответ ?? Если нет, как я могу улучшить свой ответ?
Ответы:
Прежде чем доказывать что-то интересное, обратите внимание, что почти наверняка для всех не является необходимым условием для того, чтобы оба утверждения имели смысл, что иллюстрирует детерминированная последовательность .i ( - 1 , - 1 , 1 , 1 , 1 , … )Xi>0 i (−1,−1,1,1,1,…)
Более того, утверждение действительно неверно в целом, как доказывает следующая детерминированная последовательность: .(0,1,1,…)
Теперь предположим, что почти наверняка для всех , тогда утверждение верно по следующему аргументу:яXi>0 i
ОпределитеПо совпадению , почти наверняка. Таким образом, почти наверняка в результате для Cesaro означает также доказанное в комментариях выше. Таким образом, по непрерывности , почти наверняка.x↦log(x)log(Xn)→log(X)Sn→log(X)x↦exp(x)( n ∏ i = 1 Xi)1/n→X,
источник
Это утверждение является ложным. Я даю доказательства, предоставляя контрпример.
Предположим, что случайная последовательность определяется следующим образом:Xi
Ясно, что является (1) вырожденным и (2) почти наверняка сходится к при по сильному закону больших чисел Чебышева. (Чтобы увидеть это, перепишите для .) Х = 1 я ⟶ ∞ Z я = я - 0.5 Z Z ~ N ( 0 , 1 )Xi X=1 i⟶∞ Zi=i−0.5Z Z∼N(0,1)
Однако, поскольку , . Следовательно, , поэтому в пределе он будет тривиально сходиться к , то есть . Π n i = 1 X i = 0 ,X1=0 ( Π п я = 1 X я ) 1 / п = 0 , ∀ п ∈ N 0 л я м п ⟶ ∞ ( Π п я = 1 X я ) 1 / п = 0 ◻Πni=1Xi=0,∀n∈N (Πni=1Xi)1/n=0,∀n∈N 0 limn⟶∞(Πni=1Xi)1/n=0 □
источник