порог расчета для минимального классификатора риска?

Предположим, что два класса и имеют атрибут и имеют распределение и . если мы имеем равный для следующей матрицы затрат:$C_1$$C_2$$x$$\cal{N} (0, 0.5)$$\cal{N} (1, 0.5)$$P(C_1)=P(C_2)=0.5$

$L= \begin{bmatrix} 0 & 0.5 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

почему $x_0 < 0.5$ является порогом для классификатора минимального риска (стоимости)?

Это мой пример заметки, который я неправильно понимаю (т.е. как достигается этот порог?)

Редактировать 1: Я думаю, что для порогов отношения правдоподобия мы можем использовать P (C1) / P (C2).

Редактировать 2: я добавляю из Duda Book на Pattern немного текста о пороге.

Для матрицы затрат

$$L= \begin{bmatrix} 0 & 0.5 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{matrix} c_1 \\ c_2 \end{matrix} \;\text{prediction} \\ \hspace{-1.9cm} \begin{matrix} c_1 & c_2 \end{matrix} \\ \hspace{-1.9cm}\text{truth}$$

потеря прогнозирования класса когда истина - это класс составляет , а стоимость прогнозирования класса когда истина - это класс составляет . За правильные прогнозы плата не взимается, . Тогда условный риск для прогнозирования любого класса равенc 2 L 12 = 0,5 c 2 c 1 L 21 = 1 L 11 = L 22 = 0 R $c_1$$c_2$$L_{12} = 0.5$$c_2$$c_1$$L_{21} = 1$$L_{11} = L_{22} = 0$$R$$k$

$$\begin{align} R(c_1|x) &= L_{11} \Pr (c_1|x) + L_{12} \Pr (c_2|x) = L_{12} \Pr (c_2|x) \\ R(c_2|x) &= L_{22} \Pr (c_2|x) + L_{21} \Pr (c_1|x) = L_{21} \Pr (c_1|x) \end{align}$$ Для см. эти примечания на стр. 15.

Чтобы минимизировать риск / убыток, вы прогнозируете если цена из-за ошибки при этом (это потеря неправильного прогноза, умноженная на последующую вероятность того, что прогноз неверен, ) меньше, чем стоимость ошибочного прогнозирования альтернативы,L 12 Pr ( c 2 | x $c_1$$L_{12} \Pr (c_2|x)$

Pr(c2|x)∝Pr(x|c2)Pr(c2)Pr(c1)=Pr(c2)=0,5

$$\begin{align} L_{12} \Pr (c_2|x) &< L_{21} \Pr (c_1|x) \\ L_{12} \Pr (x|c_2) \Pr (c_2) &< L_{21} \Pr (x|c_1) \Pr (c_1) \\ \frac{L_{12} \Pr (c_2)}{L_{21} \Pr (c_1)} &< \frac{\Pr (x|c_1)}{ \Pr (x|c_2)} \end{align}$$ где вторая строка использует правило Байеса . При равных априорных вероятностях вы получаете $\Pr (c_2|x) \propto \Pr (x|c_2) \Pr (c_2)$$\Pr (c_1) = \Pr (c_2) = 0.5$ $$\frac{1}{2} < \frac{\Pr (x|c_1)}{ \Pr (x|c_2)}$$

поэтому вы решили классифицировать наблюдение как , если отношение правдоподобия превышает этот порог. Теперь мне неясно, хотели ли вы знать «наилучший порог» с точки зрения отношения правдоподобия или с точки зрения атрибута . Ответ меняется в зависимости от функции стоимости. Использование гауссиана в неравенстве с и , , x σ 1 = σ 2 = σ μ 1 = 0 μ 2 = 1 $c_1$$x$$\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$$\mu_1 = 0$$\mu_2 = 1$

$$\begin{align} \frac{1}{2} &< \frac{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp \left[ -\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu_1)^2 \right]}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp \left[ -\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu_2)^2 \right]} \\ \log \left(\frac{1}{2}\right) &< \log \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\right) -\frac{1}{2\sigma^2}(x-0)^2 - \left[ \log \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\right) -\frac{1}{2\sigma^2}(x-1)^2 \right] \\ \log \left(\frac{1}{2}\right) &< -\frac{x^2}{2\sigma^2} + \frac{x^2}{2\sigma^2} - \frac{2x}{2\sigma^2} + \frac{1}{2\sigma^2} \\ \frac{x}{\sigma^2} &< \frac{1}{2\sigma^2} - \log \left(\frac{1}{2}\right) \\ x &< \frac{1}{2} - \log \left(\frac{1}{2}\right) \sigma^2 \end{align}$$ поэтому порог предсказания в терминах$x$поиск может быть достигнут только в том случае, если потери от ложных прогнозов одинаковы, т.е. потому что только тогда вы можете иметь и вы получите .$L_{12} = L_{21}$$\log \left( \frac{L_{12}}{L_{21}} \right) = \log (1) = 0$$x_0 < \frac{1}{2}$