PDF произведения двух независимых равномерных случайных величин

12

Пусть ~ и ~ - две независимые случайные величины с заданными распределениями. Каково распределение ?U ( 0 , 2 ) Y U ( - 10 , 10 ) V = X YИксU(0,2)YU(-10,10)Взнак равноИксY

Я пробовал свертку, зная, что

час(v)знак равноYзнак равно-Yзнак равно+1YеY(Y)еИкс(vY)dY

Мы также знаем, что , еY(Y)знак равно120

ч(v)=1

час(v)знак равно120Yзнак равно-10Yзнак равно101Y12dY
час(v)знак равно140Yзнак равно-10Yзнак равно101YdY

Что-то говорит мне, здесь есть что-то странное, потому что оно прерывисто в 0. Пожалуйста, помогите.

ОЦП
источник
1
Если это домашнее задание, не могли бы вы добавить тег самообучения? Спасибо!
Энди
Разве это не может быть единым RV?
Яир Даон
Это не похоже на униформу. может что то с логом? Но я не знаю, как это записать, так как ноль находится между границами, а функция не определена в нуле.
ОЦП

Ответы:

14

Прекрасный, строгий, элегантный ответ уже был опубликован. Целью этого является то , чтобы получить тот же результат , таким образом , что может быть немного больше выявления основной структуры . Это показывает, почему функция плотности вероятности (pdf) должна быть особой в 0 .ИксY0


Многое можно сделать, сосредоточившись на формах распределения компонентов :

  • - двойнаяслучайная величина U ( 0 , 1 ) . U ( 0 , 1 ) - это стандартная «хорошая» форма, характерная для всех равномерных распределений.ИксU(0,1)U(0,1)

  • в десять раз больше U ( 0 , 1 ) случайной величины.|Y|U(0,1)

  • Знак следует Радемахер распределения: он равен - 1 или 1 , каждый из которых с вероятностью 1 / 2 .Y-111/2

(Этот последний шаг преобразует неотрицательную переменную в симметричное распределение около , оба хвоста которого выглядят как исходное распределение.)0

Следовательно, (a) симметричен относительно 0, и (b) его абсолютное значение в 2 × 10 = 20 раз превосходит произведение двух независимых U ( 0 , 1 ) случайных величин.ИксY02×10знак равно20U(0,1)

Продукты часто упрощаются, принимая логарифмы. Действительно, хорошо известно, что отрицательный логарифм переменной имеет экспоненциальное распределение (поскольку речь идет о простейшем способе генерации случайных экспоненциальных вариаций), поэтому отрицательный логарифм произведения двух из них имеет Распределение суммы двух экспонент. Экспонента - это распределение Γ ( 1 , 1 ) . Гамма-распределения с одним и тем же параметром масштаба легко добавить: вы просто добавляете их параметры формы. A Γ ( 1 , 1 ) плюс Γ ( 1)U(0,1)Γ(1,1)Γ(1,1) переменная, следовательно, имеетраспределение Γ ( 2 , 1 ) . следовательноΓ(1,1)Γ(2,1)

Случайная переменная представляет собой симметризованную версию, в 20 раз превышающую экспоненту отрицательной переменной Γ ( 2 , 1 ) .ИксY20Γ(2,1)

фигура

Построение PDF У из распределения U ( 0 , 1 ) показано слева направо, исходя из равномерного, экспоненциального, Г ( 2 , 1 ) , экспоненциального его отрицательного , то же самое масштабируется на 20 , и, наконец, симметризованная версия этого. Его PDF бесконечен в 0 , подтверждая разрыв там.ИксYU(0,1)Γ(2,1)200

Мы могли бы остановиться здесь. Например, эта характеристика дает нам возможность генерировать реализации напрямую, как в этом выражении:ИксYR

n <- 1; 20 * exp(-rgamma(n, 2, scale=1)) * ifelse(runif(n) < 1/2, -1, 1)

Тезис анализ также показывает, почему PDF-файл взрывается в . 0 Эта особенность впервые появилась, когда мы рассмотрели экспоненту (отрицательную часть) распределения , соответствующее умножению одной переменной U ( 0 , 1 ) на другую. Значения в пределах (скажем) ε от 0 возникают многими способами, включая (но не ограничиваясь ими), когда (а) один из факторов меньше, чем ε, или (b) оба фактора меньше, чем Γ(2,1)U(0,1)ε0ε . Этот квадратный корень чрезвычайно большесамогоε, когдаεблизко к0. Это вызывает большую вероятность, в количестве, превышающемεεε0 , чтобы быть сжатым в интервале длиныε. Чтобы это было возможно, плотность продукта должна быть сколь угодно большой при0. Последующие манипуляции - масштабирование в20 рази симметрирование - очевидно, не устранят эту особенность.εε020

Эта описательная характеристика ответа также приводит непосредственно к формулам с минимумом суеты, показывая, что он является полным и строгим. Например, чтобы получить pdf для , начните с элемента вероятности распределения Γ ( 2 , 1 ) ,ИксYΓ(2,1)

е(T)dTзнак равноTе-TdT, 0<T<,

Полагая следует , д т = - д ( лог ( г ) ) = - д г / г и 0 < г < 1 . Это преобразование также меняет порядок: большие значения t приводят к меньшим значениям z . По этой причине мы должны отменить результат после замены, даваяTзнак равно-журнал(Z)dTзнак равно-d(журнал(Z))знак равно-dZ/Z0<Z<1TZ

е(T)dTзнак равно-(-журнал(Z)е-(-журнал(Z))(-dZ/Z))знак равно-журнал(Z)dZ, 0<Z<1.

Коэффициент масштабирования преобразует это в20

-журнал(Z/20)d(Z/20)знак равно-120журнал(Z/20)dZ, 0<Z<20.

Наконец, симметризация заменяет на | z | , позволяет его значениям теперь варьироваться от - 20 до 20 и делит pdf на 2, чтобы распределить общую вероятность равномерно по интервалам ( - 20 , 0 ) и ( 0 , 20 ) :Z|Z|-20202(-20,0)(0,20)

еИксY(Z)dZзнак равно-12120журнал(|Z|/20), -20<Z<20;еИксY(Z)dZзнак равно0 в противном случае,
Whuber
источник
Спасибо за попытку сделать его более «доступным». Я все еще находил это немного противоречащим интуиции, поэтому я просто выполнил это (по аналогии с «симуляцией» Сианя): plot( density( outer(seq(-10,10,length=10),seq(0,2,length=10), "*") ) )прокручивание длины до 100 позволяет избежать появления некоторых артефактов плотности ограниченные распределения.
DWin
9

В вашем выводе не используется плотность . Поскольку X U ( 0 , 2 ) , f X ( x ) = 1ИксИкс~U(0,2)поэтому в вашей формуле свертки h(v)=1

еИкс(Икс)знак равно12я(0,2)(Икс)
(я также исправил якобиан, добавив абсолютное значение). Следовательно, h ( v )
час(v)знак равно120-10101|Y|12я(0,2)(v/Y)dY
Вот подтверждение путем моделирования результата:
час(v)знак равно140-1001|Y|я0v/Y2dY+1400101|Y|я0v/Y2dYзнак равно140-1001|Y|я0v/2Y-10dY+1400101|Y|я0v/2Y10dYзнак равно140я-20v0-10v/21|Y|dY+140я20v0v/2101|Y|dYзнак равно140я-20v0журнал{20/|v|}+140я0v20журнал{20/|v|}знак равножурнал{20/|v|}40я-20v20
введите описание изображения здесь

полученный как

   hist(runif(10^6,0,2)*runif(10^6,10,10),prob=TRUE,
   nclass=789,border=FALSE,col="wheat",xlab="",main="")
   curve(log(20/abs(x))/40,add=TRUE,col="sienna2",lwd=2,n=10^4)
Сиань
источник
Привет спасибо. Я хотел бы спросить, почему границы изменились с -10 до 10 на -10 до v / 2?
ОЦП
Должен ли быть где-то негатив? Спасибо
cgo
1
-20<v<20журнал(20/|v|)20/|v|>1-журнал(|v|/20)