Пусть ~ и ~ - две независимые случайные величины с заданными распределениями. Каково распределение ?U ( 0 , 2 ) Y U ( - 10 , 10 ) V = X YXU(0,2)YU(−10,10)V=XY
Я пробовал свертку, зная, что
h(v)=∫y=+∞y=−∞1yfY(y)fX(vy)dy
Мы также знаем, что , fY(y)=120
ч(v)=1
h(v)=120∫y=10y=−101y⋅12dy
h(v)=140∫y=10y=−101ydy
Что-то говорит мне, здесь есть что-то странное, потому что оно прерывисто в 0. Пожалуйста, помогите.
Ответы:
Прекрасный, строгий, элегантный ответ уже был опубликован. Целью этого является то , чтобы получить тот же результат , таким образом , что может быть немного больше выявления основной структуры . Это показывает, почему функция плотности вероятности (pdf) должна быть особой в 0 .XY 0
Многое можно сделать, сосредоточившись на формах распределения компонентов :
- двойнаяслучайная величина U ( 0 , 1 ) . U ( 0 , 1 ) - это стандартная «хорошая» форма, характерная для всех равномерных распределений.X U(0,1) U(0,1)
в десять раз больше U ( 0 , 1 ) случайной величины.|Y| U(0,1)
Знак следует Радемахер распределения: он равен - 1 или 1 , каждый из которых с вероятностью 1 / 2 .Y −1 1 1 / 2
(Этот последний шаг преобразует неотрицательную переменную в симметричное распределение около , оба хвоста которого выглядят как исходное распределение.)0
Следовательно, (a) симметричен относительно 0, и (b) его абсолютное значение в 2 × 10 = 20 раз превосходит произведение двух независимых U ( 0 , 1 ) случайных величин.ИксY 0 2 × 10 = 20 U( 0 , 1 )
Продукты часто упрощаются, принимая логарифмы. Действительно, хорошо известно, что отрицательный логарифм переменной имеет экспоненциальное распределение (поскольку речь идет о простейшем способе генерации случайных экспоненциальных вариаций), поэтому отрицательный логарифм произведения двух из них имеет Распределение суммы двух экспонент. Экспонента - это распределение Γ ( 1 , 1 ) . Гамма-распределения с одним и тем же параметром масштаба легко добавить: вы просто добавляете их параметры формы. A Γ ( 1 , 1 ) плюс Γ ( 1)U( 0 , 1 ) Γ ( 1 , 1 ) Γ ( 1 , 1 ) переменная, следовательно, имеетраспределение Γ ( 2 , 1 ) . следовательноΓ ( 1 , 1 ) Γ (2 , 1 )
Построение PDF У из распределения U ( 0 , 1 ) показано слева направо, исходя из равномерного, экспоненциального, Г ( 2 , 1 ) , экспоненциального его отрицательного , то же самое масштабируется на 20 , и, наконец, симметризованная версия этого. Его PDF бесконечен в 0 , подтверждая разрыв там.ИксY U( 0 , 1) Γ ( 2 , 1) 20 0
Мы могли бы остановиться здесь. Например, эта характеристика дает нам возможность генерировать реализации напрямую, как в этом выражении:ИксY
R
Тезис анализ также показывает, почему PDF-файл взрывается в .0 Эта особенность впервые появилась, когда мы рассмотрели экспоненту (отрицательную часть) распределения , соответствующее умножению одной переменной U ( 0 , 1 ) на другую. Значения в пределах (скажем) ε от 0 возникают многими способами, включая (но не ограничиваясь ими), когда (а) один из факторов меньше, чем ε, или (b) оба фактора меньше, чем √Γ ( 2 , 1 ) U( 0 , 1 ) ε 0 ε . Этот квадратный корень чрезвычайно большесамогоε, когдаεблизко к0. Это вызывает большую вероятность, в количестве, превышающем √ε√ ε ε 0 , чтобы быть сжатым в интервале длиныε. Чтобы это было возможно, плотность продукта должна быть сколь угодно большой при0. Последующие манипуляции - масштабирование в20 рази симметрирование - очевидно, не устранят эту особенность.ε√ ε 0 20
Эта описательная характеристика ответа также приводит непосредственно к формулам с минимумом суеты, показывая, что он является полным и строгим. Например, чтобы получить pdf для , начните с элемента вероятности распределения Γ ( 2 , 1 ) ,ИксY Γ ( 2 , 1 )
Полагая следует , д т = - д ( лог ( г ) ) = - д г / г и 0 < г < 1 . Это преобразование также меняет порядок: большие значения t приводят к меньшим значениям z . По этой причине мы должны отменить результат после замены, даваят = - log(з) dт = - д( журнал(з) ) = - dZ/ z 0 < z< 1 T Z
Коэффициент масштабирования преобразует это в20
Наконец, симметризация заменяет на | z | , позволяет его значениям теперь варьироваться от - 20 до 20 и делит pdf на 2, чтобы распределить общую вероятность равномерно по интервалам ( - 20 , 0 ) и ( 0 , 20 ) :Z | Z| - 20 20 2 ( - 20 , 0 ) ( 0 , 20 )
источник
plot( density( outer(seq(-10,10,length=10),seq(0,2,length=10), "*") ) )
прокручивание длины до 100 позволяет избежать появления некоторых артефактов плотности ограниченные распределения.В вашем выводе не используется плотность . Поскольку X ∼ U ( 0 , 2 ) , f X ( x ) = 1Икс Икс∼ U( 0 , 2 ) поэтому в вашей формуле свертки
h(v)=1
полученный как
источник