Как превратить функцию в плотность вероятности, сохраняя при этом форму функции?

У меня есть ряд функций, каждая из которых, предположительно, представляет плотность случайной величины по агентам. Каждая функция также имеет домен, который описывает, какие значения случайной величины являются действительными.

Теперь, если я правильно помню свои классы статистики, если я возьму интеграл одной из функций по значениям, описанным областью функции, я должен получить значение 1,0. Однако этого не происходит.

Существует ли метод нормализации, который может превратить функцию в истинную плотность вероятности, но при этом сохранить форму функции?

Все функции имеют вид , где - случайная величина, а - переменные постоянные.$\frac{a}{bx}+c$$x$$a,b,c$

Если у вас есть неотрицательная интегрируемая функция с областью такая, что$f$$D$

$$k = \int_{D} f(x) dx < \infty$$

Тогда является плотность вероятности на . Значение известно как нормализующая константа .$f(x)/k$$D$$k$

Изменить: В вашем примере вы сказали, что для известных констант . В этом случае неопределенный интеграл легко вычислить, а нормализующая константа будет$f(x) = \frac{a}{bx} + c$$a,b,c$

$$k = \left[ \frac{a \log(x) }{b} + cx \right]_{D}$$

если - интервал то это упрощает$D$$(A,B)$

$$k = \frac{a}{b} \cdot \log \left( \frac{B}{A} \right) + c(B-A)$$ Следовательно, - плотность вероятности на . $$g(x) = \frac{\frac{a}{bx} + c}{\frac{a}{b} \cdot \log \left( \frac{B}{A} \right) + c(B-A)}$$ $(A,B)$