Срок службы трех электронных компонентов: и . Случайные величины были смоделированы как случайная выборка размера 3 из экспоненциального распределения с параметром . Функция правдоподобия, дляХ 3 = 2,1 & thetas ; & thetas ; > 0
x = ( 2 , 1,5 , 2,1 ) , где .
И затем проблема переходит к определению MLE путем нахождения значения которое максимизирует . У меня вопрос, как определить функцию правдоподобия? Я посмотрел PDF экспоненциального распределения, но он другой. Так всегда ли функция вероятности дается мне в проблеме? Или я должен определить это сам? Если да, то как?l o g f 3 ( x | θ )
Ответы:
Функция правдоподобия выборки представляет собой совокупную плотность участвующих случайных величин, но рассматриваемая как функция неизвестных параметров, учитывая конкретную выборку реализаций из этих случайных величин.
В вашем случае кажется, что здесь предполагается, что каждый из этих электронных компонентов следует за временем жизни (т. Е. Имеет предельное распределение), экспоненциальное распределение с идентичным параметром скорости , и поэтому предельный PDF равен:θ
Кроме того, кажется, что жизнь каждого компонента полностью независима от жизни других. В таком случае функция плотности соединения является произведением трех плотностей,
Чтобы превратить это в функцию правдоподобия выборки, мы рассматриваем ее как функцию учетом конкретной выборки .θ xi
где изменилась только левая часть, чтобы указать, что считается переменной функции. В вашем случае доступная выборка - это три наблюдаемых времени жизни и т. Д. . Тогда вероятность{x1=3,x2=1.5,x3=2.1} ∑3i=1xi=6.6
Другими словами, по вероятности, которую вам дали, конкретный доступный образец уже вставлен в него. Обычно это не делается, т. Е. Мы обычно «останавливаемся» на теоретическом представлении вероятности для общих , затем выводим условия для его максимизации относительно , а затем включаем в условия максимизации конкретное числовое значение. выборка значений , чтобы получить конкретную оценку для . θ x θxi θ x θ
Правда, если посмотреть на такую вероятность, можно прояснить тот факт, что для вывода (для конкретного предположения о распределении) здесь важна сумма реализаций, а не их отдельные значения: приведенная выше вероятность не является «образцом». -специфичный "но скорее" специфичный для суммы реализаций ": если нам дадут любую другую выборку с для которой сумма ее элементов снова равна , мы получим такую же оценку для (это по сути то, что это означает, что является «достаточной» статистикой - она содержит всю информацию, которую выборка может предоставить для вывода, в соответствии с определенным предположением распределения).6,6 θ ∑ xn=3 6.6 θ ∑x
источник