Как рассчитать функцию правдоподобия

9

Срок службы трех электронных компонентов: и . Случайные величины были смоделированы как случайная выборка размера 3 из экспоненциального распределения с параметром . Функция правдоподобия, дляХ 3 = 2,1 & thetas ; & thetas ; > 0X1=3,X2=1.5,X3=2.1θθ>0

x = ( 2 , 1,5 , 2,1 )f3(x|θ)=θ3exp(6.6θ) , где .x=(2,1.5,2.1)

И затем проблема переходит к определению MLE путем нахождения значения которое максимизирует . У меня вопрос, как определить функцию правдоподобия? Я посмотрел PDF экспоненциального распределения, но он другой. Так всегда ли функция вероятности дается мне в проблеме? Или я должен определить это сам? Если да, то как?l o g f 3 ( x | θ )θlogf3(x|θ)

Адриан
источник
Почему вы хотите сделать оценку вероятности только с 3 наблюдениями? Оценка, которую вы получите за будет предвзятой и будет иметь большое количество отклонений. Это HW? θ
Захари Блюменфельд
Вы знаете, что такое определение вероятности?
Glen_b

Ответы:

15

Функция правдоподобия выборки представляет собой совокупную плотность участвующих случайных величин, но рассматриваемая как функция неизвестных параметров, учитывая конкретную выборку реализаций из этих случайных величин.

В вашем случае кажется, что здесь предполагается, что каждый из этих электронных компонентов следует за временем жизни (т. Е. Имеет предельное распределение), экспоненциальное распределение с идентичным параметром скорости , и поэтому предельный PDF равен:θ

fXi(xiθ)=θeθxi,i=1,2,3

Кроме того, кажется, что жизнь каждого компонента полностью независима от жизни других. В таком случае функция плотности соединения является произведением трех плотностей,

fX1,X2,X3(x1,x2,x3θ)=θeθx1θeθx2θeθx3=θ3exp{θi=13xi}

Чтобы превратить это в функцию правдоподобия выборки, мы рассматриваем ее как функцию учетом конкретной выборки .θxi

L(θ{x1,x2,x3})=θ3exp{θi=13xi}

где изменилась только левая часть, чтобы указать, что считается переменной функции. В вашем случае доступная выборка - это три наблюдаемых времени жизни и т. Д. . Тогда вероятность{x1=3,x2=1.5,x3=2.1}i=13xi=6.6

L(θ{x1=3,x2=1.5,x3=2.1})=θ3exp{6.6θ}

Другими словами, по вероятности, которую вам дали, конкретный доступный образец уже вставлен в него. Обычно это не делается, т. Е. Мы обычно «останавливаемся» на теоретическом представлении вероятности для общих , затем выводим условия для его максимизации относительно , а затем включаем в условия максимизации конкретное числовое значение. выборка значений , чтобы получить конкретную оценку для . θ x θxiθxθ

Правда, если посмотреть на такую ​​вероятность, можно прояснить тот факт, что для вывода (для конкретного предположения о распределении) здесь важна сумма реализаций, а не их отдельные значения: приведенная выше вероятность не является «образцом». -специфичный "но скорее" специфичный для суммы реализаций ": если нам дадут любую другую выборку с для которой сумма ее элементов снова равна , мы получим такую ​​же оценку для (это по сути то, что это означает, что является «достаточной» статистикой - она ​​содержит всю информацию, которую выборка может предоставить для вывода, в соответствии с определенным предположением распределения).6,6 θ xn=36.6θx

Алекос Пападопулос
источник