У меня есть две нормально распределенные переменные и X 2 со средним нулем и ковариационной матрицей Σ . Я заинтересован в попытке вычислить значение E [ X 2 1 X 2 2 ] в терминах записей Σ .
Я использовал закон полной вероятности, чтобы получить но я не уверен, к чему сводятся внутренние ожидания. Есть ли другой метод здесь?
Спасибо.
Редактировать: переменные также многомерные нормально распределенные.
Ответы:
Ожидание явно пропорционально произведению квадратов масштабных коэффициентов . Константа пропорциональности получается путем стандартизации переменных, которая сводит Σ к матрице корреляции с корреляцией ρ = σ 12 /σ11σ22 Σ ρ=σ12/σ11σ22−−−−−√ .
Предполагая двумерную нормальность, в соответствии с анализом на https://stats.stackexchange.com/a/71303 мы можем изменить переменные на
где(X,Y) имеет стандартное (некоррелированное) двумерное нормальное распределение, и нам нужно только вычислить
где точное значение постоянной не имеет значения. ( Y - остаток от регрессии X 2 против X 1. ) Использование одномерных ожиданий для стандартного нормального распределенияс Y Икс2 Икс1
и отмечая, что и Y являются независимыми выходамиX Y
Умножая это наσ11σ22 дает
Тот же метод применяется для нахождения ожидания любого многочлена в , потому что он становится многочленом в ( X , ρ X + (( Х1, X2) и что при раскрытии является полиномом отнезависимыхнормально распределенных переменныхXиY(X, ρ X+ ( 1 - ρ2-----√) Y) Икс Y . От
для интеграла (со всеми нечетными моментами, равными нулю по симметрии), можно вывестиk ≥ 0
(при всех других ожиданиях мономов, равных нулю). Это пропорционально гипергеометрической функции (почти по определению: манипуляции не являются глубокими или поучительными),
источник