Ожидание на произведения высших порядков нормальных распределений

9

У меня есть две нормально распределенные переменные и X 2 со средним нулем и ковариационной матрицей Σ . Я заинтересован в попытке вычислить значение E [ X 2 1 X 2 2 ] в терминах записей Σ .Икс1Икс2ΣЕ[Икс12Икс22]Σ

Я использовал закон полной вероятности, чтобы получить но я не уверен, к чему сводятся внутренние ожидания. Есть ли другой метод здесь?Е[Икс12Икс22]знак равноЕ[Икс12Е[Икс22|Икс1]]

Спасибо.

Редактировать: переменные также многомерные нормально распределенные.

АГК
источник
5
У и X 2 также есть двумерное нормальное распределение? (Просто сказать, что X 1 и X 2 являются нормальными с ковариационной матрицей Σ , не достаточно, чтобы сделать вывод, что совместное распределение является двумерным нормальным). X1X2X1X2Σ
Дилип Сарвате
1
Для конкретного приложения, которое я имею в виду, и X 2 имеют двумерное нормальное распределение по многомерной центральной предельной теореме. Я забыл упомянуть об этом в моем оригинальном посте. Икс1Икс2
АГК
1
@AGK, если вы хотите уточнить свой пост, есть кнопка «Изменить», которая позволяет вам вносить изменения. Это лучше для будущих читателей, которым не нужно искать ключевую информацию в комментариях под вопросом.
Серебряная рыба

Ответы:

8

Ожидание явно пропорционально произведению квадратов масштабных коэффициентов . Константа пропорциональности получается путем стандартизации переменных, которая сводит Σ к матрице корреляции с корреляцией ρ = σ 12 /σ11σ22Σρ=σ12/σ11σ22 .

Предполагая двумерную нормальность, в соответствии с анализом на https://stats.stackexchange.com/a/71303 мы можем изменить переменные на

X1=X, X2=ρX+(1ρ2)Y

где (X,Y) имеет стандартное (некоррелированное) двумерное нормальное распределение, и нам нужно только вычислить

Е(Икс2(ρИкс+(1-ρ2)Y)2)знак равноЕ(ρ2Икс4+(1-ρ2)Икс2Y2+сИкс3Y)

где точное значение постоянной не имеет значения. ( Y - остаток от регрессии X 2 против X 1. ) Использование одномерных ожиданий для стандартного нормального распределениясYИкс2Икс1

E(X4)=3, E(X2)=E(Y2)=1, EY=0

и отмечая, что и Y являются независимыми выходамиXY

E(ρ2X4+(1ρ2)X2Y2+cX3Y)=3ρ2+(1ρ2)+0знак равно1+2ρ2,

Умножая это на σ11σ22 дает

Е(Икс12Икс22)знак равноσ11σ22+2σ122,

Тот же метод применяется для нахождения ожидания любого многочлена в , потому что он становится многочленом в ( X , ρ X + ((Икс1,Икс2)и что при раскрытии является полиномом отнезависимыхнормально распределенных переменныхXиY(Икс,ρИкс+(1-ρ2)Y)ИксY . От

Е(Икс2К)знак равноЕ(Y2К)знак равно(2К)!К!2Кзнак равноπ-1/22КΓ(К+12)

для интеграла (со всеми нечетными моментами, равными нулю по симметрии), можно вывестиК0

Е(Икс12пИкс22Q)знак равно(2Q)!2-п-QΣязнак равно0Qρ2я(1-ρ2)Q-я(2п+2я)!(2я)!(п+я)!(Q-я)!

(при всех других ожиданиях мономов, равных нулю). Это пропорционально гипергеометрической функции (почти по определению: манипуляции не являются глубокими или поучительными),

1π2п+Q(1-ρ2)QΓ(п+12)Γ(Q+12)2F1(п+12,-Q;12;ρ2ρ2-1),

(1-ρ2)Qρ

Whuber
источник
1
Спасибо за подробный ответ! Я также думаю о связанных вопросах с другими полиномами, так что это действительно полезная структура. Это очень умная трансформация, которую я раньше не видел. Круто!
АГК
3
Чтобы помочь вашему расследованию, я предоставил детали для общих полиномов. Когда я писал этот ответ, я был удивлен, осознав, что я узнал об этом преобразовании из учебника элементарной статистики Фридмана, Пизани и Пурвеса: мы учим этому первокурсникам из колледжа!
whuber