Распространение ошибки с использованием рядов Тейлора 2-го порядка

9

Я читаю текст «Математическая статистика и анализ данных» Джона Райса. Речь идет о приближении ожидаемое значение и дисперсию случайной величины . Мы можем рассчитать ожидаемое значение и дисперсию случайной величины и мы знаем соотношение . Таким образом, можно приблизить ожидаемое значение и дисперсию используя разложение в ряд Тейлора about .YXY=g(X)YgμX

На странице 162 он перечисляет 3 уравнения.

  1. Ожидаемое значение с использованием разложения в ряд Тейлора 1-го порядка. Это: . Это упоминается позже в моем вопросе как .YμYg(μX)E(Y1)

  2. Дисперсия с использованием разложения в ряд Тейлора 1-го порядка. Это: . Это упоминается позже в моем вопросе как .YσY2σX2(g(μX))2Var(Y1)

  3. Ожидаемое значение с использованием разложения в ряд Тейлора 2-го порядка. Это \ mu_Y \ приблизительный g (\ mu_X) + \ frac12 \ sigma_X ^ 2 g '' (\ mu_X) . Это упоминается позже в моем вопросе как E (Y_2) .YμYg(μX)+12σX2g(μX)E(Y2)

Обратите внимание, что есть два разных выражения для Y потому что мы используем два разных порядка в разложении в ряд Тейлора. Уравнения 1 и 2 относятся к Y1=g(X)g(μX)+(XμX)g(μX) . Уравнение 3 относится к Y2=g(X)g(μX)+(XμX)g(μX)+12(XμX)2g(μX) .

Обратите внимание, что конкретно уравнение для Var(Y2) не приводится. Позже, кажется, автор использует уравнение для дисперсии Y1 (уравнение 2), когда фактически он ссылается на ожидаемое значение Y2 (уравнение 3). Кажется, это подразумевает Var(Y2)=Var(Y1) .

Я попытался вычислить вручную , и я получаю несколько сложное выражение. Вот моя работа (я остановился, потому что в конце я получаю слагаемых в ожидании): Var(Y2)X3

Var(Y2)=E[(g(μX)+(XμX)a+12(XμX)2bg(μX)12σX2b)2]=E[((XμX)a+(12(XμX)212σX2)b)2]=E[(ca+(12c212σX2)b)2]=E[c2a2+ca(c2σX2)b+14(c2σX2)2b2]=E[(X22XμX+μX2)a2+(XμX)a((X22XμX+μX2)σX2)b+14((X22XμX+μX2)σX2)2b2]

Обратите внимание, что в приведенных выше уравнениях , и . Что такое ?a=g(μX)b=g(μX)c=XμXVar(Y2)

Спасибо.

jrand
источник
Почему вы остановились на ? Поскольку аппроксимация второго порядка является квадратичной функцией от , ее дисперсия будет обычно включать моменты от до . Третий момент может быть нулевым, но четвертый момент определенно появится, и ничто не будет отменено. X3XX22=4
whuber

Ответы:

7

Предполагая, что , мы можем получить приблизительную дисперсию используя разложение Тейлора второго порядка относительно следующим образом:Y=g(X)Yg(X)μX=E[X]

Var[Y]=Var[g(X)]Var[g(μX)+g(μX)(XμX)+12g(μX)(XμX)2]=(g(μX))2σX2+14(g(μX))2Var[(XμX)2]+g(μX)g(μX)Cov[XμX,(XμX)2]=(g(μX))2σX2+14(g(μX))2E[(XμX)4σX4]+g(μX)g(μX)(E(X3)3μX(σX2+μX2)+2μX3)=(g(μX))2σX2+14(g(μX))2(E[X4]4μXE[X3]+6μX2(σX2+μX2)3μX4σX4)+g(μX)g(μX)(E(X3)3μX(σX2+μX2)+2μX3)

Как @whuber отметил в комментариях, это можно очистить немного с помощью третьих и четвертых центральных моментов . Центральный момент определяется как . Обратите внимание, что . Используя эту новую запись, мы получаем, что Xμk=E[(XμX)k]σX2=μ2

Var[Y](g(μX))2σX2+g(μX)g(μX)μ3+14(g(μX))2(μ4σX4)
assumednormal
источник
Это правильный подход, но не забыли ли вы включить ковариацию между и ? XμX(XμX)2
whuber
@ Whuber Да, я сделал. Спасибо что подметил это. Я скоро отредактирую это.
принято нормальным
Вы можете избежать неприятностей, написав ответ в терминах второго, третьего и четвертого центральных моментов: , и . Вы должны получить . σ2μ3μ4σ2g(μ)2+μ3g(μ)g(μ)+14(μ4σ4)g(μ)2
whuber
@jrand - Мои извинения. Я не осознавал, что это было в твоем оригинальном посте. Однако я не удаляю свой пост, потому что для набора текста потребовалось некоторое время.
предполагается нормальным
@Max, whuber: Спасибо за ответ и объяснение.
jrand