Я читаю текст «Математическая статистика и анализ данных» Джона Райса. Речь идет о приближении ожидаемое значение и дисперсию случайной величины . Мы можем рассчитать ожидаемое значение и дисперсию случайной величины и мы знаем соотношение . Таким образом, можно приблизить ожидаемое значение и дисперсию используя разложение в ряд Тейлора about .
На странице 162 он перечисляет 3 уравнения.
Ожидаемое значение с использованием разложения в ряд Тейлора 1-го порядка. Это: . Это упоминается позже в моем вопросе как .
Дисперсия с использованием разложения в ряд Тейлора 1-го порядка. Это: . Это упоминается позже в моем вопросе как .
Ожидаемое значение с использованием разложения в ряд Тейлора 2-го порядка. Это \ mu_Y \ приблизительный g (\ mu_X) + \ frac12 \ sigma_X ^ 2 g '' (\ mu_X) . Это упоминается позже в моем вопросе как E (Y_2) .
Обратите внимание, что есть два разных выражения для потому что мы используем два разных порядка в разложении в ряд Тейлора. Уравнения 1 и 2 относятся к . Уравнение 3 относится к .
Обратите внимание, что конкретно уравнение для не приводится. Позже, кажется, автор использует уравнение для дисперсии (уравнение 2), когда фактически он ссылается на ожидаемое значение (уравнение 3). Кажется, это подразумевает .
Я попытался вычислить вручную , и я получаю несколько сложное выражение. Вот моя работа (я остановился, потому что в конце я получаю слагаемых в ожидании):
Обратите внимание, что в приведенных выше уравнениях , и . Что такое ?
Спасибо.
Ответы:
Предполагая, что , мы можем получить приблизительную дисперсию используя разложение Тейлора второго порядка относительно следующим образом:Y=g(X) Y g(X) μX=E[X]
Как @whuber отметил в комментариях, это можно очистить немного с помощью третьих и четвертых центральных моментов . Центральный момент определяется как . Обратите внимание, что . Используя эту новую запись, мы получаем, чтоX μk=E[(X−μX)k] σ2X=μ2
источник